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4.2 直方图均衡化图像增强效果的实现
4.2.1 直方图修正技术的基础
给定图像的灰度级经归一化处理后，分布在0 r 1范围内。这时可以对[0,1]区间内的任意r值进行变换：
S=T(r) (1)
也就是说，通过上述变换，每个原始图像的像素值r都对应产生一个s值。变换函数T(r)应该满足下列条件：
1. 在0 r 1区间内，T(r)是单值单调增加；
2. 对于0 r 1，有0 T(r) 1；
第一个条件保证了图像的灰度级。第二个条件则保证了映射变化后的像素灰度值在允许的范围内。从s到r的反变换可用式(2)表示，同样满足以上两个条件：
r=T-1(s) (2)
由概率论理论可知，若已知随机变量ζ的概率密度为Pr(r)，而随机变量η是ζ的函数，即η=T(ζ)，η的概率密度为Ps(s)，所以可以由Pr(r)求出Ps(s)。
因为S=T(r)是单调增加的，分析可知，它的反函数r=T-1(s)也是单调函数。 在这种情况下，当η<s，且仅当ζ<r时发生，所以可以求得随即变量η的分布函数为：
F η(s)=P(η<s)=p[ζ<r]= r pr(x)dx (3)
对式(3)两边求导，即可得到随即变量η的分布密度函数Ps(s)为：
Ps(s)=pr(r)·dr/ds=pr(r)·d/ds[T-1(s)]=[pr(r)·dr/ds]r=t-1(s)=T-1(s) (4)
由式(4)可知，对于连续情况，设Pr(r)和Ps(s)分别表示原图像和变换后图像的灰度级概率密度函数。根据概率论的知识，在已知Pr(r)和变换函数S=T(r)时，反变换函数r=T-1(s)也是单调增长，则Ps(s)可有式(4)求出。
4.2.2 直方图的均衡化数学基础
对于连续图像，设r和s分别表示被增强图像和变换后图像的灰度。为了简单，在下面的讨论中，假定所有像素的灰度已被归一化了，就是说，当r s 0时，表示黑色；当r=s=1时，表示白色；变换函数T(r)与原图像概率密度函数Pr(r)之间的关系为：
s T(r) pr(r)d(r) 0 r 1 (5) 0r
式中：r为积分变量。式(5)的右边可以看作是r的累积分布函数(CDF)，因
