12研究生数理统计习题部分解答
第六章 抽样分布
1． （1994年、数学三、选择）
设(X1,X2,?,Xn)是来自总体N(?,?)的简单随机样本，X是样本均值，记
2S121212122222?(Xi?X)，S2??(Xi?X)，S3?(Xi??)2，??n?1i?1ni?1n?1i?112??(Xi??)2则服从自由度n?1的t分布的随机变量是T?（ ni?1）。
S42A.
X??S1n?1
B.
X??S2n?1
C.
X??S32n
D.
X??S4n
[答案：选B]
122(X?X)当S?时，服从自由度n?1的t分布的随机变量应为 ?in?1i?1 T?X??Sn
A、由S1212X??X???(Xi?X)2?S2，T? ??n?1i?1S1n?1Sn?1 而不是T?X??Sn
B、由S2212n?11nn?1222??(Xi?X)??(X?X)?S ?ini?1nn?1i?1n ?T?X??S2n?1?X??n?1nSn?1?X??Sn。
2． （1997年、数学三、填空）
设随机变量X,Y相互独立，均服从N(0,3)分布且X1,?,X9与Y1,?,Y9分别是来自总体X,Y的简单随机样本，则统计量U? ）分布。
2X1???X9Y1???Y922服从参数为（ ）的（
[答案：参数为（9）的（t）分布]
2解：由X,Y相互独立，均服从N(0,3)分布，又X1,?,X9与Y1,?,Y9分别来自总体
X,Y，可知X1,?,X9与Y1,?,Y9之间均相互独立，均服从分布N(0,32)
9Yi19?Yi?2X??Xi~N(0,1)，~N(0,1)，因而?Xi~N(0,9?3)，??~?2(9)，?9i?13i?1i?1?3?92919?Y?且X??Xi与??i?相互独立，
9i?1i?1?3?219?Xi?19i?19i因而
19?????Xi?19iYi23?Yi?19?2iX1???X9Y1???Y922服从参数为9的t分布。
3． （1998年、数学三、填空）
设(X1,X2,X3,X4)是取自正态总体X~N(0,2)的简单随机样本且Y?
2a(X1?2X2)2?b(3X3?4X4)2，则a?（ ），b?（
布，其自由度为（ ）。 同学习指导文件综例6.9.1 [答案：a?（
）时，统计量Y服从?分
2112），b?（）时，统计量Y服从?分布，其自由度为（2）] 2010022由统计量Y?a(X1?2X2)?b(3X3?4X4)?[a(X1?2X2)]2?[b(3X3?4X4)]2
设Y1?a(X1?2X2),Y2?b(3X3?4X4)即Y??Yi
2i?1222由X~N(0,2)可知Xi~N(0,2)，i?1,2,3,4，且
EY1?E[a(X1?2X2)]?a(EX1?2EX2)?a(0?2?0)?0
EY2?E[b(3X3?4X4)]?b(3EX3?4EX4)?b(3?0?4?0)?0
22 DY1?D[a(X1?2X2)]?a(DX1?4DX2)?a(2?4?2)?20a
DY2?D[b(3X3?4X4)]?b(9DX3?16DX4)?b(9?2?16?2)?100b 若统计量Y服从?分布，则由Y?布，即
222?Yi，可知自由度为2且Yi(i?1,2)服从标准正态分
2i?12EY1?EY2?0，DY1?20a?1?a?4． （1999年、数学三、证明）
11，DY2?100b?1?b?。 201001619设X1,X2,?,X9是取自正态总体X的简单随机样本，Y1??Xi，Y2??Xi，
6i?13i?72(Y1?Y2)19，证明统计量Z服从自由度为2的t分布。 S??(Xi?Y2)2,Z?2i?6S22证明：记DX??（未知），易见EY1?EY2?EX，DY1??26,DY2??23由于
Y1和Y2相互独立，可见E(Y1?Y2)?0，D(Y1?Y2)?从而
U?由正态总体样本方差的性质，知 ??22?26??23??22
Y1?Y2?2~N(0,1)
2S2?22
~?2(2)
2由于Y1与Y2独立、Y1与S以及Y2与S独立，可见Y1?Y2与S独立。 于是，由服从t分布的随机变量的结构，知 Z?5． （2001年、数学三、填空）
设总体X服从正态分布N(0,2),而X1,X2,?,X15是来自总体的简单随机样本，则随机变量
2X12???X10 Y? 222(X11???X15)22(Y1?Y2)?SU?22~t(2)。
服从（ ）分布，参数为（ ）。 同学习指导文件综例6.9.3 [答案 填：F (10,5)] 解：?Xi12~N(0,1),?(X12??X10)~?2(10),24122(X11??X15)~?2(5) 4且显然此二者相互独立，则：
122(X1???X10)422X1???X1010 Y??~F(10,5) 2212(X11???X15)22(X11??X15)456． （2001年、数学四、计算）
设总体X服从正态分布N(?,?)(??0)，从中抽取简单随机样本X1,?,X2n，
n12nXi，求统计量Y??(Xi?Xn?i?2X)2 （n?2），其样本均值为X??2ni?1i?12的数学期望E(Y)。
解：
E(Xi)??,D(Xi)??2,E(Xi2)??2??2,
E(X)??,D(X)?n?22n,E(X)?2?22n??2
Y??(Xi?Xn?i?2X)2i?122??(Xi2?Xn?i?4X?2XiXn?1?4XiX?4Xn?iX)i?1n
??X?4nX?2?XiXn?i?4X?Xi2i22nn2n
i?12ni?1ni?1
??Xi2?4nX2?2?XiXn?ii?1i?1E(Y)??E(X)?4nE(X)?2?E(Xi)E(Xn?i)2i2i?1i?12nn?2n(?2??2)?4n(魏宗舒
?2
2n??2)?2n?2?2(n?1)?21. 设是来自服从参数为的泊松分布
的联合分布律。 2. 解
的样本，试写出样本
2. 设是来自上的均匀分布的样本，未知 （1）写出样本的联合密度函数；
（2）指出下列样本函数中哪些是统计量，哪些不是？为什么？
（3）设样本的一组观察是：0.5,1,0.7,0.6,1,1,写出样本均值、样本方差和标准差。
2. 解
（1）
0 其他 （2）和
是，和
不是。因为和
中不含总体中的唯一未知参数，而
和中含有未知参数。 （3）样本均值样本方差
实际应为除以n-1
样本标准差
3. 查表求3. 解
。
4. 设
，
，，
。
，
。 ，
，
，求常数，使。
即为
。
4. 解 由t分布关于纵轴对称，所以
由附表5.6可查得，所以。
5. 设（1）（2）
5.证明： （1）
； 。
是来自正态总体
的样本，试证：
独立同分布于，由分布的定义，，即
