习 题 一
1—1 一质点在平面xOy内运动，运动方程为x=2t，y?19?2t2 (SI)。(1)求质点的运动轨道；(2)求t=1s和t=2s时刻质点的位置矢量；(3)求t=1s和t=2s时刻质点的瞬时速度和瞬时加速度；(4)在什么时刻，质点的位置矢量和速度矢量垂直?这时x、y分量各为多少?(5)在什么时刻，质点离原点最近?最近距离为多大?
[解] 质点的运动方程:x?2t，y?19?2t2 (1)消去参数t，得轨道方程为: y?19?12x 2(2)把t=1s代入运动方程，得
r?2ti?(19?2t2)j?2i?17j 把t=2s代入运动方程，可得
r?2?2i?(19?2?22)j?4i?11j (3)由速度、加速度定义式，有
vx?dx/dt?2,vy?dy/dt??4tax?dvx/dt?0,ay?dvy/dt??4
所以，t时刻质点的速度和加速度为 v?vxi?vyj?2i?4tj a?axi?ayj??4j
所以，t=1s时，v?2i?4j，a??4j t=2s时，v?2i?8j，a??4j (4)当质点的位置矢量和速度矢量垂直时，有 r?v?0
即 [2ti?(19?2t2)j]?[2i?4tj]?0 整理，得 t3?9t?0
解得 t1?0;t2?3,t3??3(舍去) t?0s时,x1?0,y1?19m t?3s时,x2?6m,y2?1m (5)任一时刻t质点离原点的距离 r(t)?(2t)2?(19?2t2)2 令dr/dt=0 可得 t=3
1-1
所以，t=3s时，质点离原点最近 r(3)=6.08m
1—2 一粒子按规律x?t3?3t2?9t?5沿x轴运动，试分别求出该粒子沿x轴正向运动；沿x轴负向运动；加速运动，减速运动的时间间隔。
[解] 由运动方程x?t3?3t2?9t?5可得质点的速度
dx?3t2?6t?9?3?t?3??t?1? (1) dtdv粒子的加速度a??6?t?1? (2)
dtvx?由式(1)可看出 当t>3s 时，v>0，粒子沿x轴正向运动； 当t<3s 时，v<0，粒子沿x轴负向运动。
由式(2)可看出 当t>1s 时，a>0，粒子的加速度沿x轴正方向； 当t<1s 时，a<0，粒子的加速度沿x轴负方向。
因为粒子的加速度与速度同方向时，粒子加速运动，反向时，减速运动，所以，当t>3s或0 1—3 一质点的运动学方程为x?t2，y??t?1? (S1)。试求： (1)质点的轨迹方程：(2) 2在t?2s时，质点的速度和加速度。 [解] (1) 由质点的运动方程 x?t2 (1) y??t?1? (2) 2 消去参数t，可得质点的轨迹方程 y?x?1 (2) 由(1)、(2)对时间t求一阶导数和二阶导数可得任一时刻质点的速度和加速度 vx?dydx?2t vy??2?t?1? dtdt 所以 v?vxi?vyj?2ti?2?t?1?j (3) d2yd2x ax?2?2 ay?2?2 dtdt 所以 a?2i?2j (4) 把t=2s代入式(3)、(4)，可得该时刻质点的速度和加速度。 v?4i?2j a?2i?2j 1—4 质点的运动学方程为x?Asin?t，y?Bcos?t，其中 A、B、?为正常数，质点的轨道为一椭圆。试证明质点的加速度矢量恒指向椭圆的中心。 ?t (1) [证明] 由质点的运动方程 x?Asinst (2) y?Bco?d2x 对时间t求二阶导数，得质点的加速度 ax?2??A?2sin?t dtd2y ay?2??B?2cos?t dt1-2 所以加速度矢量为 a???2?Asin?ti?Bcos?tj????2r 可得加速度矢量恒指向原点——椭圆中心 1—5 质点的运动学方程为r?2ti?2?t2j (S1)，试求：(1)质点的轨道方程；(2)t＝2s时质点的速度和加速度。 [解] (1) 由质点的运动方程，可得 x?2t,y?2?t2 消去参数t，可得轨道方程 y?2???12x 4 (2) 由速度、加速度定义式，有 v?dr/dt?2i?2tj a?d2r/dt2??2j 将t=2s 代入上两式，得 v?2i?4j ， a??2j 1—6 已知质点的运动学方程为x?rcos?t，y?rsin?t，z?ct，其中r、?、c均为常量。试求：(1)质点作什么运动；(2)其速度和加速度?(3)运动学方程的矢量式。 [解] (1) 质点的运动方程 x?rcos?t(1) y?rsin?t(2) z?ct (3) 由(1)、(2)消去参数t得 x2?y2?r2 此方程表示以原点为圆心以r为半径的圆，即质点的轨迹在xoy平面上的投影为圆。 由式(2)可以看出，质点以速率c沿z轴运动。 综上可知，质点绕z轴作螺旋运动。 (2) 式(1)、(2)、(3) 两边对时间t求导数可得质点的速度 vx?dx??r?sin?t dtdyvy??r?cos?t dtdzvz??c dt所以v?vxi?vyj?vzk??r?sin?ti?r?cos?tj?ck 由式(1)、(2)、(3)两边对时间求二阶导数，可得质点的加速度 d2xax?2??r?2cos?tdtd2yay?2??r?2sin?t dt1-3 az?0 所以 a?axi?ayj?azk??r?2cos?ti?r?2sin?tj (3) 由式(1)、(2)、(3)得运动方程的矢量式 r?xi?yj?zk?rcos?ti?rsin?tj?ctk 1—7 湖中一小船，岸边的人用跨过高处的定滑轮的绳子拉船靠岸(如图所示)。当收绳速度为v时，试问：(1)船的运动速度u比v大还是小?(2)若v＝常量。船能否作匀速运动?如果不能，其加速度为何值? [解] (1) 由教材上图知 L2?s2?h2 两边对t求导数，并注意到h为常数，得 2LdLds?2s dtdt又v??dL/dt,u??ds/dt 所以 Lv=su (1) 即 u/v=L/s>1 因此船的速率u大于收绳速率v。 (2) 将(1)式两边对t求导，并考虑到v是常量 vdLdsdu ?u?sdtdtdt所以 u2?v2?sa 即 a?(u2?v2)/s?h2v2/s3 1—8 质点沿x轴运动，已知v?8?2t2，当t?8s时，质点在原点左边52m处(向右为x轴正向)。试求：(1)质点的加速度和运动学方程；(2)初速度和初位置；(3)分析质点的运动性质。 [解] (1) 质点的加速度 a=dv/dt=4t 又 v=dx/dt 所以 dx=vdt 对上式两边积分，得 ?dx??vdt??(8?2t由题知 xt?8?8?8?所以 c= - 457.3m 2)dt?8t?(2/3)t3?c 23?8?c??52(m) 323因而质点的运动方程为： x??457.3?8t?t3 (2) v0?8?2?02?8(m/s) x0??457.3?8?0?23?0??457.3(m) 3(3) 质点沿X轴作变加速直线运动，初速度为8m/s，初位置为-457.3m. 1—9 一物体沿x轴运动，其加速度与位置的关系为a=2+6x。物体在x=0处的速度为 1-4 10ms，求物体的速度与位置的关系。 [解] a?dvdvdxdv??v dtdxdtdx vdv?adx 对上式两边积分得 ?vdv??adx???2?6x?dx 化简得 v?6x2?4x?c? 由题意知 vx?0?6?02?4?0?c??10 c??100 故物体的速度与位置的关系为 v?6x2?4x?100 1—10 一质点在平面内运动，其加速度a?axi?ayj，且ax，ay为常量。(1)求v?t和r?t的表达式；(2)证明质点的轨迹为一抛物线t=0时，r?r0，v?v0。 [解] 由 a?dv得 dt v?adt 两边积分得 v?adt v00?v?t因ax，ay为常量，所以a是常矢量，上式变为 v?v0?at 即v?v0?at 由 v?dr 得 dr?vdt??v0?at?dt dt两边积分，并考虑到v0和a是常矢量， 即 r?r0?v0t?at2 ?dr???v0?at?dt r00rt12(2) 为了证明过程简单起见，按下列方式选取坐标系，使一个坐标轴(如x轴)与a平行，并使质点在t=0时刻位于坐标原点。 这样 x?c1t?axt2 (1) y?c2t (2) 由前面推导过程知 c1?v0x c2?v0y(3) 联立 (1)~(3)式，消去参数t得 22v0xv0y?2v0??v0y?x???? y??x?????ax?ax?2ax??2121-5
