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第二十四章 24.1.4圆周角
知识点1：圆周角的概念
顶点在圆上,且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
关键提醒:(1)圆周角必须具备两个特征:一是顶点在圆周上,二是角的两边都和圆相交; (2)圆周角与圆心角一样,在圆中经常出现,它们的相同点是角的两边都和圆相交,不同点是圆心角的顶点在圆心而圆周角的顶点在圆上. 知识点2：圆周角定理及推论
圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
圆周角定理的推论:
(1)半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径; (2)在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等;
(3)如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.
关键提醒:(1)圆周角定理中,包含了两方面的意义:一是圆周角与圆心角存在关系的前提条件是同圆或等圆中它们对着同一条弧,二是对着同一条弧的圆周角是圆心角的一半,不能丢掉“同弧或等弧所对的圆周角和圆心角”这一条件,而简单地说成“圆周角等于圆心角的一半”;
(2)“相等的圆周角所对的弧相等”的前提条件是“在同圆或等圆内”,离开这个前提条件,结论不一定成立;
(3)圆的直径常与90°的圆周角联系在一起,有关直径问题,常作直径所对的圆周角构成直角;有关90°的圆周角所对的弦为直径;
(4)在同圆或等圆中,两个圆周角、两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等,他们对应的其余各组量也相等.
知识点3：圆的内接四边形概念和圆内接四边形的性质
圆的内接多边形定义:如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,那么这个多边形叫做圆的内接多边形,这个圆叫做多边形的外接圆.
圆的内接四边形性质:圆的内接四边形的对角互补.
关键提醒:根据圆的内接多边形性质不难得出:圆的内接四边形任何一个外角等于它的内对角. 配套学习资料K12页脚内容
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考点1：圆周角的认识 【例1】 下列各图形中的角是圆周角的是( ). A. ①② B. ③ C. ③④ D. ③④⑤ 答案:B. 点拨:由于图形①②中的角的顶点不在圆上,所以图形①②中的角不是圆周角.图形④中的角的两边均不与圆相交,所以图形④中的角不是圆周角.图形⑤中的角的两边中只有一边与圆相交,所以图形⑤中的角也不是圆周角.只有图形③中的角符合圆周角的两个条件. 考点2：利用圆周角定理及其推论解决问题 【例2】 已知在半径为4的☉O中,弦AB=4答案:60°或120°. 点拨:已知点P在圆上但没有说明具体位置,所以点P的位置关系有两种情况:①点P在优弧上;②点P在劣弧上. ,点P在圆上,则∠APB= . 如图,过点O作OC⊥AB,连接OA、OB,由垂径定理可得AC=2,在Rt△OAC中,由于OC=OA,所以∠OAC=30°,可得AB所对的圆心角∠AOB=120°.①当点P在优弧上时,∠AP1B=60°;②当点P在劣弧上时,∠AP2B=120°. 考点3：利用圆内接四边形的性质进行计算 配套学习资料K12页脚内容
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【例3】 在圆内接四边形ABCD中,∠A、∠B、∠C的度数的比是3∶2∶7,求四边形各内角度数.
解:设∠A、∠B、∠C的度数分别为3x,2x,7x. ∵ 四边形ABCD是圆内接四边形, ∴ ∠A+∠C=3x+7x=180°.解得x=18°. ∴ ∠A=3x=54°,∠B=2x=36°,∠C=7x=126°. 又 ∠B+∠D=180°, ∴ ∠D=180°-36°=144°.
点拨:根据圆的内接四边形性质,可知∠A+∠C=180°,再运用方程思想即可求出四边形各内角度数.
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