课时提升作业(二十七)
平面向量应用举例
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.(2015·秦皇岛模拟)已知向量OA=(2,2),OB=(4,1),在x轴上一点P使APBP有最小值,则点P的坐标为( ) A.(-3,0)
B.(2,0)
C.(3,0)
D.(4,0)
【解析】选C.设点P(x,0),则AP=(x-2,-2),BP=(x-4,-1),故AP·BP= (x-2)(x-4)+2=x-6x+10=(x-3)+1,因此当x=3时取最小值,此时P(3,0).
2.已知直线x+y=a与圆x+y=4相交于A,B两点且满足OA?OB?OA?OB,O为原点.
2
2
2
2
则正实数a的值为( ) A.1
B.2
C.3
D.4
【解题提示】利用向量加减法的几何意义找到OA与OB的关系,然后转化求解. 【解析】选B.由OA?OB?OA?OB可得
OA?OB,又OA?OB?2,故AB?22,
所以点O到AB的距离d=2, 所以0?0?a2?2,得a?2,
又a>0,故a=2.
3.(2015·南宁模拟)已知向量a=(cosα,-2),b=(sinα,1),且a∥b,则 2sinαcosα等于( )
44A.3 B.?3 C. D.?
55【解析】选D.由a∥b得cosα=-2sinα, 所以tanα=-
1. 2
所以2sinαcosα=
4.圆C:x+y=1,直线l:y=kx+2,直线l与圆C交于A,B,若OA?OB?OA?OB (其中O为坐标原点),则k的取值范围是( )
22
【解题提示】利用OA?OB?OA?OB?OA?OB????OA?OB?进行转化.
22【解析】选D.由OA?OB?OA?OB两边平方化简得OAOB<0,所以∠AOB是钝角, 如图,
作OM⊥AB,交AB于点M,则AM=BM, ∠AOM=∠BOM>45°,令OM=d,
在Rt△AMO中,∠AOM>45°,所以AM>d, 又AM+d=1,所以1>2d,即d2?2
2
2
12,d?. 222, 2所以O(0,0)到kx-y+2=0的距离小于所以2k2?1?2,所以k??7或k?7,故选D. 25.(2015·哈尔滨模拟)在△ABC中,若ABAC?7,AB?AC?6,则△ABC面积的最大值为( ) A.24
B.16
C.12
2
2
D.83
【解题提示】先根据ABAC?7,AB?AC?6,求b+c的值,从而求得bc的最大值.把cos A用bc表示,从而sin A可用bc表示,最后用S△ABC=【解析】选C.由题意可知AB=c,AC=b, 所以b·ccos A=7,
1bcsin A求解. 2
所以cos A?2
2
7,AB?AC?6, bc所以b+c=50≥2bc,所以bc≤25.
【加固训练】若OA?1,OB?4,OAOB?2,OA?OB?OC,则△ABC的面积是( ) A.1
B.2
C.3
D.23
【解析】选C.因为OA?OB?OC,所以OA?OC?OB?BC,OB?OC?OA?AC,
又OA?1,OB?4,所以BC?1,AC?4,OAOB?2即BCAC?2,设BC与AC的夹
角为θ,易知θ与∠BCA为对顶角,所以θ=∠BCA.BCAC?BCAC cosθ=1×4cosθ=2,得cosθ=
1, 2所以cos∠BCA=所以S31,sin∠BCA=,
22ABC?1BCACsin?BCA?3. 26.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对应的三角形的边长,若4aBC?2bCA?3cAB=0,则cos B=( )
A.?11112929 B. C. D.?24243636【解题提示】将其中一个向量转化为用另外两个向量来表示,利用两向量不共线得边a,b,c的关系,再利用余弦定理求解.
【解析】选A.由4aBC?2bCA?3cAB=0得
4aBC?2bCA?3cAC?CB?(4a?3c)BC?(2b?3c)CA=0,又BC与CA不共线,
??
7.(2015·淄博模拟)在平行四边形ABCD中,E,F分别是边CD和BC的中点,若
AC??AE??AF(λ,μ∈R),则log3(λμ)的值为( )
2A.-2 B.-1 C.1 D.2
【解析】选A.如图,
令AB=a,AD=b,则AC=a+b,①
因为a,b不共线,由①,②得
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.(2015·牡丹江模拟)在长江南岸渡口处,江水以12.5 km/h的速度向东流,渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江,则航向为 . 【解析】如图所示,渡船速度为OB,水流速度为OA,
船实际垂直过江的速度为OD,依题意知OA?25,OB?25. 22因为OD?OB?OA,所以ODOA?OBOA?OA,因为OD?OA,所以ODOA?0,2525所以25?cos(?BOD?90?)?()2?0,2211所以cos(∠BOD+90°)=-,所以sin∠BOD=,
22所以∠BOD=30°,所以航向为北偏西30°. 答案:北偏西30°
9.若等边△ABC的边长为2
123,平面内一点M满足CM?CB?CA,则
63MAMB= . 【解析】方法一:以BC的中点为原点,BC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,根据题设条件可知A(0,3),B(-3,0),C(3,0).
