第一讲 分数裂项
一、 裂差
b?aa?bba?baa?baa?bba?b1b1a1a1b＝－＝－
二、 裂和
a?ba?b＝+＝+
三、 裂项必须满足的条件
1、分母可以写成几个因数乘积的形式 2、分子可以用分母中的因数表示 裂项第一类题目：
①
1+
1+?+
19?10
1?22?3②1×2+2×3+?+9×10
＝(1×2×3-0×2×3)+(2×3×4-1×2×3)+?+(9×10×11-8×9×10) ＝9×10×11--0×2×3＝990 ③
++?++ 2！3！！9！102?13?19?110?1＝++?++
！2！3！9！101289
＝(
-)+(-)+?+(-)+(-)＝-＝1-
！1！10！10！1！2！2！3！8！9！9！1011111111111④1×1！+2×2！+?+10×10！
＝(2！- 1！)+(3！- 2！)+?+(11！- 10！)＝11！- 1！＝11！- 1 裂项第二类题目：
①
1+
1+?+
18?9?10
1?2?32?3?4②1×2×3+2×3×4+?+8×9×10 ③
12!?103!?14!?25!?3+2+3?+ 1033332232④1!×3-2!×4+3!×5-?+9!×11-10!
⑤n?(n?1)＝(n?1?1)?(n?1)＝(n?1)-(n?1)
各例题仿照这些题目去求解即可。
第二讲 韩信点兵
我们在解决类似“物不知其数”题，也就是出现一个数N除以A余a，除以B余b，除以C余c这一类问题的时候，有“四大绝招”把余数问题转化为“整除问题”：
绝招一：减同余。
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绝招二：加同补。
绝招三：中国剩余定理。 绝招四：逐级满足法。
中国剩余定理，知道了，往里套公式即可，但是孩子不容易记住公式，在此不提倡。常采用的方法是：逐级满足法。
余数的表示形式：①a÷b＝q?r；②a＝bq+；③a-r＝bq。
【第一单元】韩信点兵 201、【第5题】摩比去买文具，所有的文具价格都是整数元。他发现自己带的钱只能买a支钢笔，剩下的钱恰好等于一本记事本的价格；若全买记事本可以买b本，剩下的钱恰好等于一块橡皮的价格；若全买橡皮，最多可以买c块，剩下的钱能买一支铅笔。若四者价格成等差数列，而且有a+b+c＝10，那他至少带了多少钱？ 【难度级别】★★★★☆ 【解题思路】钢笔单价＝记事本单价+d，记事本单价＝橡皮单价+d，橡皮单价＝铅笔单价+d。
假设带的钱为A，则：
A可以买a个钢笔+1本记事本，A+d可以买a+1个钢笔； A可以买b本记事本+1块橡皮，A+d可以买b+1本记事本； A可以买c个橡皮+1支铅笔， A+d可以买c+1个橡皮。
a＜b＜c，(a+1)+(b+1)+(c+1)＝a+b+c+3＝10+3＝13，但是13＝3+4+6，所以a+1＝3，
121212b+1＝4，c+1＝6，[3,4,6]＝12，钢笔单价：记事本：单价橡皮单价＝::＝4:3:2。
346求至少，让公差＝1，A+d＝[3,4,6]＝12，A＝12－d＝12－1＝11。 【答案】11。
【第二单元】逐级满足法 202、【第2题】有一正整数除以7、8、9的余数分别为1、5、4，求这个数至少是多少？ 【难度级别】★★★☆☆
【解题思路】体验一下“逐级满足法”。
A÷7＝a?1，A-1＝7k，A＝7k+1。
A÷8＝b?5，A≡5(mod 8)，7k+1≡5(mod 8)，最小值k＝4，7k+1＝29，A＝56m+29。 A÷9＝c?4，A≡4(mod 9)，56m+29≡4(mod 9)，2m+2≡4(mod 9)，最小值m＝1，A＝56m+29＝85。A的下一个值由A＝504n+85求解，504＝7×8×9。 【答案】85。
203、【第5题】摩比、大宽、金儿三人带了一样多的钱去买文具，文具的价格都是整数元。摩比只买钢笔，大宽只买记事本，金儿只买自动铅笔。摩比和金儿都发现，如果自己能再多6元就正好能再多买到一支需要的笔；大宽和摩比发现自己剩下的钱一样多，而且三人剩余的钱凑到一起正好买一支自动铅笔。若三种商品价格成等差数列，那么三人至少各带了多少元。
【难度级别】★★★★☆
【解题思路】此题分析比较难，分析后就是3个除数的余数问题，用逐级满足法求解。
求至少，每种文具的单价尽量低，每人剩下的钱尽量少，三人剩下的钱也是尽量少，因三人剩余的钱正好买一支自动铅笔，所以自动铅笔的单价是最低的。
金儿买自动铅笔，金儿剩下的钱加6元可以多买一支，求最少，金儿剩下1元，自动铅笔单价：1+6＝7元。
因为三人剩余的钱正好买一支自动铅笔，7－1＝6，大宽和摩比剩下的钱一样多，6÷2
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＝3，各剩下3元，摩比买钢笔，摩比剩下的钱加6元可以多买一支，钢笔单价：3+6＝9元。
求最少，公差为1，大宽记事本的单价为8元。
摩比买钢笔， 钢笔单价为9元， 摩比剩下3元； 大宽买记事本， 记事本单价为8元， 大宽剩下3元； 金儿买自动铅笔， 自动铅笔单价为9元， 金儿剩下1元；
以上各数据正好满足题目的各个条件；如果不满足，说明假设的金儿剩下1元和公差为1不合适，可以做适当调整，直到满足题目条件为止。
设三人至少带的钱为A，则 A÷9＝?3，A÷8＝?3，A÷7＝?1 8×9|A－3，A－3＝72k，A＝72k+3。
A≡1(mod 7)，72k+3≡1(mod 7)，72k+3＝7×10k+2k，72k+3≡2k+3≡1(mod 7)，2k+2≡0(mod 7)，2k≡5(mod 7)，最小值k＝6，此时，A＝72k+3＝72×6+3＝435。 【答案】435。
【第三单元】复杂同余
204、【第1题】求30除以7的余数。 【难度级别】★★☆☆☆
【解题思路】30＝7×4+2，2≡2(mod 7)，2≡4(mod 7)，2≡1(mod 7)，2除以7的余数3个一周期循环，30÷3＝10。
123i3030≡2≡2≡1(mod 7)。
【答案】1。
205、【第5题】一个正整数除以5、7、15、20都不能整除，而且四个余数成等差数列，求这个数至少是多少？ 【难度级别】★★★☆☆ 【解题思路】用逐级满足法。
求至少，A除以5余1，则A除以15余11，A除以20余16，1、11、16显然公差为5，A除以7余6。
A÷5＝?1，A÷7＝?6，A÷15＝?11，A÷20＝?16。 A÷5＝?-4，A÷7＝?6，A÷15＝?-4，A÷20＝?-4。 [5,15,20]＝60，60|A+4，A+4＝60k，A＝60k-4。 A≡6(mod 7)，60k-4≡4k-4≡6(mod 7)，4k≡3(mod 7)，最小值k＝6，A＝60×6-4＝356。 【答案】356。
206、【补充1】已知A-41|41A，求A。 【难度级别】★★☆☆☆
【解题思路】体会一下解题方法：
41A＝41(A-41)+41，A-41|41，41是质数，A-41＝1或41或41，A＝42、82、1722。 【答案】42、82、1722。
207、【补充2】铺地面能用正几边形的瓷砖？ 【难度级别】★★☆☆☆
【解题思路】体会一下与上道题异曲同工的解题方法。
22230303
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正n边形的一个内角＝
(n?2)?180no，
(n?2)?180no|360，
o(n?2)n
|2，n-2|2n。
2n＝2(n-2)+4，n-2|4，4＝(n-2)k。 k＝1、2、4时有解，对应n＝6、4、3。
所以，瓷砖可以是等边三角形、正方形、正六边形3种。 【答案】3、4、6。
208、【补充3】
110?1?1口口，有几种填法。
【难度级别】★★★☆☆
【解题思路】体会一下解题方法，学会如何将一个分数（分子为1）拆分成2个分数，本题的方法比求解具体的题目更重要。
110＝
1a?b10(a?b)＝
a+
b，a和b是10的约数，对10标准分解质因数。
10(a?b)10(a?b)10＝2 ?51，10有(1+1)×(1+1)=4个约数：1、2、5、10，a和b从这4个约数中取值。
(a,b)＝(1,1)、(1,2)、(1,5)、(1,10)、(2,5)共5组。(2,10)与(1,5)重复，(5,10)与
(1,2)重复，(2,2)、(5,5)、(10,10)都与(1,1)重复。
将(a,b)的5组取值代入得到：【答案】5种。
110＝
1+
1＝
1+
1＝
1+
1＝
1+
1＝
1+
1。
202030156012110113514
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第三讲 归纳与递推
汉诺塔递推关系：an＝2an?1+1，an＝2-1。 兔子数列递推关系：an＝an?1+an?2。
本讲，要学会递推的思想，找到递推关系，通过求出第1项、第2项等前面几项，就可以根据递推公式求出后面各项。当项数比较多时，还要推导出an的通项公式。
【第一单元】汉诺塔型递推问题
301、【第1题】汉诺塔问题：若游戏的目标都是把长方块移至最右边的柱子上，且移动过程要遵守“大块在下小块在上”的规则，那么
(3)若左边柱子上有n层木块，至少需要挪几步？为什么？
(4)汉诺塔被盛盛弄乱了，从下图所示的混乱状态直至完成，至少还需要挪几步？（移到过程不能违反规则）
5
3
1
2
4
6 (5)从下图所示状态直至完成，至少需要挪几步？
3 2 1 6 5 4 【难度级别】★★★☆☆ 【解题思路】(3) 2?1。
先将n-1块移到中间柱子上，将最大的那块移到右边柱子，再将那n-1块从中间移到右边，所以，an＝an?1+1+an?1＝2an?1+1。
a1＝1，a2＝3，a3＝7，a4＝15，?
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nn
