第一章第二节任意角的三角函数第二课时
作者：苏飞文，南安侨光中学教师，本教学设计获福建省教学设计大赛二等奖
整体设计
教学内容分析
本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好地理解任意角的三角函数的定义．在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用．《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
在本模块中，学生将通过实例学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有变化规律的问题中的作用． 学生学习情况分析
我们的课堂教学常用“高起点、大容量、快推进”的做法，忽略了知识的发生发展过程，以腾出更多的时间对学生加以反复的训练，无形增加了学生的负担，泯灭了学生学习的兴趣．我们虽然刻意地去改变教学的方式，但仍有太多旧时的痕迹，若为了新课程而新课程又会使得美景变成了幻影，失去新课程自然与清纯之味．所以如何进行《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称课程标准)的教学设计就很值得思考探索．如何让学生把对初中锐角三角函数的定义及解直角三角形的知识迁移到学习任意角的三角函数的定义中？
《普通高中数学课程标准(实验)解读》中在三角函数的教学中，教师应该关注以下两点： 第一、根据学生的生活经验，创设丰富的情境，例如单调弹簧振子，圆上一点的运动，以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等实例，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，体会三角函数是刻画周期现象的重要模型以及三角函数模型的意义．
第二、注重三角函数模型的运用即运用三角函数模型刻画和描述周期变化的现象(周期振荡现象)，解决一些实际问题，这也是《课程标准》在三角函数内容处理上的一个突出特点．
根据《课程标准》的指导思想，任意角的三角函数的教学应该帮助学生解决好两个问题： 其一：能从实际问题中识别并建立起三角函数的模型；
其二：借助单位圆理解任意角三角函数的定义并认识其定义域、函数值的符号． 设计理念
本节课通过多媒体信息技术展示摩天轮旋转及生成的图象，让学生感受到数学来源于生活，数学应用于生活，激发同学们学习的乐趣．并通过问题的探究，体验“数学是过程的思想”，改变课程实施过程中的强调接受学习，死记硬背，机械训练的现状，倡导学生主动参与，乐于探究，勤于动手，培养学生收集和处理信息的能力，获得新知识的能力，分析与解决问题的能力以及交流合作的能力． 教学目标
1．借助摩天轮的情景问题很好地融合初中对三角函数的定义，也能在直角坐标系中，很好地将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好地理解任意角的三角函数的定义．
2．从任意角的三角函数的定义认识其定义域、函数值的符号． 3．能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题． 教学重点与难点
1．教学重点：任意角三角函数的定义．
2．教学难点：正弦、余弦、正切函数的定义域．
教学过程
第一部分——情景引入
问题1：如图1是一个摩天轮，假设它的中心离地面的高度为h0，它的直径为2R，逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置OA出发，过了30秒后，你离地面的高度h为多少？过了45秒呢？过了t秒呢？
图1
设计意图
高中学生已经具有丰富的生活经验和一定的科学知识，因此选择感兴趣的、与其生活实际密切相关的素材，此情景设计应该有助于学生对知识的发生发展的理解．这个数学模型很好地融合了初中对三角函数的定义，也能放在直角坐标系中，很好地将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，揭示函数的本质．
第二部分——复习回顾锐角三角函数
让学生自主思考如何解决问题：“过了30秒后，你离地面的高度为多少？”
分析：作图如图2很容易知道：从起始位置OA运动30秒后到达P点位置，由题意知∠AOP＝30°，作PH垂直地面交OA于M，又知MH＝h0，所以本问题转变成求PH再次转变为求PM.
图2
要求PM就是回到初中所学的解直角三角形的问题即锐角的三角函数． 问题2：锐角α的正弦函数如何定义？ 学生自主探究：学生很容易得到
图3
|MP||MP|sinα＝＝?|MP|＝Rsinα?|PH|＝h0＋Rsinα?h＝h0＋Rsinα，
|OP|R
所以学生很自然得到“过了30秒后，过了45秒，你离地面的高度h为多少”．h1＝h0
＋Rsin30°；h2＝h0＋Rsin45°.
教师总结：t°在锐角的范围中，h＝h0＋Rsint°. 第三部分——引入新课
问题3：请问t的范围为多少？随着时间的推移，你离地面的高度h为多少？能不能猜想h＝h0＋Rsint°？
分析：若想做到这一点，就得把锐角的正弦推广到任意角的正弦．今天我们就要来学习任意角的三角函数．
问题4：如图4建立直角坐标系，设点P(xP，yP)，你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角α的正弦函数的定义吗？能否也定义其他函数(余弦、正切)?
图4
|MP|yP学生自主探究：sinα＝＝，
|OP|R
|OM|xP|MP|yPcosα＝＝，tanα＝＝.
|OP|R|OM|xP
问题5：改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？为什么？
分析：先由学生回答问题，教师再引导学生选几个点，计算比值，获得具体认识，并由相似三角形的性质证明．
设计意图
让学生深刻理解体会三角函数值不会随着终边上的点的位置的改变而改变，只与角有关系．
通过摩天轮的演示，让学生感受到第一象限角的正弦可以跟锐角正弦的定义一样． 问题6：大家根据第一象限角的正弦函数的定义，能否也给出第二象限角的定义呢？
|MP|yP学生自主探究：学生通过上面已知知识得到sinα＝＝，
|OP|R
学生定义好第二象限角后，让学生自己算出摩天轮座舱在第150秒时，离地面的高度h?
通过摩天轮知道：h＝h0＋Rsin150°＝h1＝h0＋Rsin30°，
1
由此得到：sin150°＝.
2
设计意图
|MP|yP通过这个，让学生检验当α为第二象限角时sinα＝＝是否正确．
|OP|R|MP|
问题7：当α为第三象限或第四象限角时，sinα＝能成立吗？
|OP|
设计意图
让学生通过模型，检验定义是否正确，从中让学生自己发现正、负符号的偏差．
1|MP|
(可以让学生取t＝210，从而h＝h0＋Rsin210°，得到sin210°＝－，发现这与sinα＝2|OP|
－|MP|
不相符，实际上是sinα＝.)
|OP|
教师总结：我们通过这个模型知道如何在某些范围内计算自己此时离地面的高度，用数学模型h＝h0＋Rsint°来表示，当摩天轮转动时，角度的概念也不知不觉地推广到了任意角，对于任意角的正弦不能只是依赖于角所在的直角三角形中的对边的长度比斜边长度了，我们更应该用点P的横坐标来代替|MP|或－|MP|，那么这样就能够很好地表示出任意角的正弦函数的定义．
第四部分——给出任意角的三角函数的定义
如图5，已知点P(x，y)为角α终边上的点，点P到顶点O的距离为R，则
图5
y
sinα＝ (α∈R)
Rx
cosα＝ (α∈R)
Ryπ
tanα＝ (α≠＋kπ)
x2
分析：让学生通过刚才的模型进一步体验任意角三角函数的定义要点：点、点的坐标、点到顶点的距离．
问题8：当摩天轮的半径R＝1时，三角函数的定义会发生怎样的变化？
y
学生自主探究：sinα＝y，cosα＝x，tanα＝. x
教师引导学生进行对比，学生通过对比发现取到原点的距离为1的点可以使表达式简
化．
教师进一步给出单位圆的定义．
给出下列表格，让学生自己补充完整. 三角函数 定义一：|OP|＝1 定义二：|OP|＝R 定义域 ysinα y α∈R Rxcosα x α∈R Ryyπtanα α≠＋kπ xx2及时归纳总结有利学生对所学知识的巩固和掌握． 第五部分——例题讲解
例1已知角α的终边经过点P0(－3，－4)，求角α的正弦、余弦和正切值． 分析：让学生现学现卖，用上面的定义二就可以得到答案．
5π
例2求的正弦、余弦和正切值．
3
学生自主探究：让学生自己思考并独立完成．然后与课本的解答对比一下，发现本题的难点．
教师讲解：本题题意很简单，但是如何入手却是难点，关键是对本节课的三角函数定义的要点有没有领会清楚(任意角三角函数的定义要点：点、点的坐标、点到顶点的距离)，因
π
此本题的重点之处是如何利用单位圆找到这个点P，如图6可以知道∠POM＝，又点P在
3
13
第四象限，得到P(，－)，这样就可以很容易得到本题的答案．
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图6
不妨让学生取R＝|OP|＝4，能否也得到点P的坐标，得到的三角函数值是否与单位圆的一样？这样可以让学生更深刻地体验三角函数的定义．
例3求证：当且仅当下列不等式组成立时，角θ为第三象限角．
①?sinθ<0，?
? ?tanθ>0.②?
活动：教师引导学生讨论验证在不同的象限内各个三角函数值的符号有什么样的关系，提示学生从三角函数的定义出发来探究其内在的关系．可以知道：三角函数的定义告诉我们，各三角函数在各象限内的符号，取决于x，y的符号，当点P在第一、二象限时，纵坐标y>0，点P在第三、四象限时，纵坐标y<0，所以正弦函数值对于第一、二象限角是正的，对于第三、四象限角是负的；同样地，余弦函数在第一、四象限是正的，在第二、三象限是负的；正切函数在第一、三象限是正的，在第二、四象限是负的．
第六部分——巩固练习
7π
练习1.例2变式：求的正弦、余弦和正切值．
6
练习2.问题9：通过观察摩天轮的旋转，三角函数的角的终边所在象限不同，请说说三角函数在各个象限内的三角函数值的符号．独立完成课本本节的“探究”．
设计意图
练习1、练习2的设计与例2、例3衔接，主要目的是帮助学生巩固三角函数的本质特征，引导学生从定义出发利用坐标平面内的点的坐标特征自主探究三角函数的有关问题的思想方法．并在特殊情形中体会数形结合的思想方法．
第七部分——小结与作业 学生自我总结
