注意： 这是第一稿（存在一些错误） 第七章数理统计习题__奇数.doc
1、解 由?1?E(X)??^?03?2?2?2??，可得?的矩xf(x,?)d??，v1?D(X)?10420?2估计量为??2X，这时E(?)?2E(X)??，D(?)?D(2X)?4?^^?220n??25n。
3、解 由?1?E(X)?2?(1??)?2(1??)2?2(1??)，得?的矩估计量为：
??1?^X22?1??。 263建立关于?的似然函数：L(?)?(?2)3(2?(1??))2(1??)2?4?8(1??)4
^2?lnL(?)?(8ln??4ln(1??))84?? 令得到?的极大似然估计值：????0，
3?????1??5、解 由E(X)?p2?3p(1?p)?3(1?p)2?p2?3p?3，所以得到p的矩估计量为
p?^3?9?4(3?X)3?4X?3?22
建立关于p的似然函数：L(p)?(p(1?p)n02n13p(1?p)n2)(p)()(1?p2)n3 22^n?2n1?n2?lnL(p)?0，求得到?的极大似然估计值：p?0令 ?p2n7、解 （1）记p?P{X?4}，由题意有p?P{X?4}?P{X?4}?P{X??4} 根据极大似然估计的不变性可得概率p?P{X?4}的极大似然估计为：
p??(^4?424s2/25)??(?4?424s2/25)?0.5??(?44)??()?0.5?0.4484 66A?424s2/25)??(A?4)，26（2）由题意得：1?0.05?1?P{X?A}?P{X?A}??(^于是经查表可求得A的极大似然估计为A?12.0588
9、解 由题意得E(?1)?E(?Xi??Xi)?8??7???
i?1i?9^81518115及E(?2)?E(?Xi??Xi)?2?????
4i?17i?9^所以?1和?2都是?的无偏估计量
又：D(?1)?D(?Xi??Xi)?8?2?7?2??2
i?1i?9^815^^18115875以及D(?2)?D(?Xi??Xi)??2??2??2
4i?17i?9164914^有D(?1)?D(?2)，说明?2更有效。
11、解 由题意可以求出：E(X2)??x2f(x;?)dx?2?。
0?^^^建立建立关于?的似然函数：L(?)??in?1(Xi?e?Xi22?)，于是有：
2lnL(?)??ni?1ln(Xi?e?Xi22?X)??ln(Xi)?nln???i i?1i?12?nn^X?lnL(?)?n????0，得到?的极大似然估计值：??令
???2?i?1n2i2?Xi?1n2i2n。
X122?)?E()???，无偏的。 又：E(?)?E(2n22^i?12X?in13、解 E(X)???0^4X3?，于是得?的矩估计量为：??。 xf(x;?)dx?34建立建立关于?的似然函数：L(?)??(^ni?13Xi2?3)???Xi?，若使其似然函数最大，
于是可以求出?的极大似然估计值：??max(X1,X2,?,Xn)。
22(2)由T1?(X1?X2)，可计算E(T1)?[E(X1)?E(X2)]??。
33设Z?max(X1,X2)，那么
P{Z?t}?P(max(X1,X2)?t)?P(X1?t,X2?t)?P(X1?t)P(X2?t)，
当t?0时，P{Z?t}?P(max(X1,X2)?t)?0，
E?Z???(1?FZ(t))dt??(1?P(Z?t))dt??00???于是
0?t3??6??(1??)dt??????3?77 ??277从而：E(T2)?E(max(X1,X2))?E(max(X1,X2))??
66因此T1和T2都是?的无偏估计量。
244142又D(T1)?D((X1?X2))?[D(X1)?D(X2)]???2??
39915135749493212D(T2)?D(max(X1,X2))?D(max(X1,X2))?????
6363619636421由于D(T1)???D(T2)??2，所以T2比T1更有效。
1353615、解 由于E(X)??xf(x;?)dx?? ，可求出?的矩估计量为：??X
0?^又根据?的似然函数：L(?)??in?1f(Xi;?)???nen??Xi/?i?1n，
Xi^?lnL(?)?n?i?1??2?0，得到?的极大似然估计量：??X 令
????因此X既是?的矩估计量，也是极大似然估计量。
（2）E(c??Xi)?cn?，以及D(c??Xi)?cn?。用c??Xi作为?的估计量，
22i?1i?1i?1nnn其均方误差为：
Mse(c?Xi)?E[(c?Xi??)2]?E[c2n2Xi?1i?1nn???2cnX???]???cn(1?n)?2cn?1?
2222n1于是，取c?时，在均方误差准则下，c??Xi比X更有效。
n?1i?117、解 （1）只对X做一次观察。由题意得：X的条件联合概率密度函数以及
其联合概率密度函数分别为：
P(X?2|?)??(1??)2，P(X?2,?)??(1??)2，0???1
2从而P(X?2)??P(X?2,?)d????(1??)d??00111 12?的条件概率密度函数为?(?|X?2)?^1P(X?2,?)?12?(1??)2，
P(X?2)10于是?的贝叶斯估计为：?B????(?|X?2)d???12?2(1??)2d??02 5（2）对X做三次观察。由题意得：X1,X2,X3的条件联合概率密度函数以及其联合概率密度函数分别为：
P(X1?2,X2?3,X3?5|?)??3(1??)10，
P(X1?2,X2?3,X3?5;?)?P(X1?2,X2?3,X3?5|?)?(?)??3(1??)10，0???1
从而
P(X1?2,X2?3,X3?5)??P(X1?2,X2?3,X3?5;?)d????3(1??)10d??00111 4004?的条件概率密度函数为：
?(?|X1?2,X2?3,X3?5)?于是?的贝叶斯估计为：
P(X1?2,X2?3,X3?5;,?)?4004?3(1??)10，
P(X1?2,X2?3,X3?5)1?B????(?|X1?2,X2?3,X3?5)d???4004?4(1??)10d??00^14 15^19、解 由题意得：E(X)??xf(x;?)dx?07?1???，由题意得：?的矩估计量为：
^1。 X由题意得：2??Xi~?2?14?，设存在两个数a和b，使得：
i?1abP(a?2??Xi?b)?0.8，即P(???)?0.8，经查表得到
14X14Xi?1214??21.0641，于是?的置信水平为80%的双侧置a??20.9?14??7.7895，b??0.1?7?0.561.50?,信区间为：（?? XX??21、解设
X??~t(10?1)， 由题意得，x?5.68，s?0.29，由给定的置信水平
S/1095%，利用Excel得到t0.025(9)?2.2622，所以?的置信水平为95%的置信区间为：
(x?t0.025(9)?0.29/10,x?t0.025(9)?0.29/10)?(5.473,5.887)
(12?1)s2~?2?11?，23、解 由题意得，于是?2的置信水平为90%的置信区间为： 2?11s211s211s211s2(2,2)?(,)?(0.022,0.096) ?0.05?11??0.95?11?19.67514.574825、解 （1）设?1和?2分别是第一种和第二种机器的平均分钟，取?1??2的无偏估计为X1?X2，由于两个总体的方差相等，所以有
X1?X2???1??2?~t(n1?n2?2)11Sw?，
n1n2根据已知条件知n1?n2?60，s1?19.4，s2?18.8，x1?80.7，x2?88.1，可以求得
22Sw2(n?1)s1?(n2?1)s2?1?361.2
n1?n2?2于是，?1??2的置信水平为95%的置信区间为：
???x1?x2?t0.025(120?2)Sw1?1,x1?x2?t0.025(120?2)Sw1?1??(?14.306,?0.494) ?n1n2n1n2???（2）从第一问的结果可以看出有显著差异。
27、解 （1）设?1和?2分别是郊区A和郊区B的居民收入方差，则：
2S1/S2~F(n1?1,n2?1)， 2?12/?22根据已知条件知n1?n2?52，s1?203.52，s2?358.12，x1?5760.35，
x2?6570.20，
于是，?1/?2的置信水平为95%的置信区间为：
2?s12?1s11?2??(0.185,0.563) ,?sF(n?1,n?1)s2F?21?0.025(n1?1,n2?1)?2?20.0251可见两郊区居民收入的方差有显著差异，郊区B居民的贫富差距程度比郊区A
居民严重。
（2）设?1和?2分别是郊区A和郊区B的居民平均收入，取?1??2的无偏估计为X1?X2，由于两个总体的方差相等，所以有
X1?X2???1??2?~t(n1?n2?2)11Sw?，
n1n2(n?1)s1?(n2?1)s20.5可以求得Sw?[1]?291.265
n1?n2?2
于是，?1??2的置信水平为95%的置信区间为：
???x1?x2?t0.025(104?2)Sw1?1,x1?x2?t0.025(104?2)Sw1?1??(?921.809,?697.891)， ?n1n2n1n2???22可见，两郊区居民的平均收入方差有显著差异，郊区A居民平均收入比郊区B居民低。
