课题：19.2.3 正方形（第1课时） 姓名
一、正方形的定义 ：
用文字语言表示为：有一组邻边_______且有一个角是 的平行四边形叫做正方形. ．．．．．．．．．．．．用符号语言表示为：∵四边形ABCD是平行四边形，AB= ，∠ABC= °，∴四边形ABCD是正方形. ．．．．．二、正方形的性质 正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形和菱形的所有性质.另外： 性质1：正方形的四条边 ，四个角都是 ．
性质2：正方形的对角线互相 、 且 ，并且每一条对角线 . 拓展：⑴正方形是 对称图形，有 条对称轴.
⑵正方形的两条对角线把它分割为四个 的 三角形.
1．正方形的边长为6cm，则面积为_______；正方形的对角线长为6cm，则面积为________. 2．如图，E为正方形ABCD边AB上的一点，已知EC=3, EB=1, 则正方形ABCD的面积为_ __，对角线为_____． 3．正方形ABCD的对角线相交于O，若AB=2，那么△ABO的周长是_____，△ABO面积是____． 4．如图，已知E点在正方形ABCD的BC边的延长线上，且CE = AC，AE与CD相交于点F，则∠AFC=________． AD
E
BC
5．如图，以正方形ABCD的边CD为一边，在正方形ABCD内作等边△CDE，BE交AC于点M，则∠AMD为 ． 6、顺次连接正方形各边中点的小正方形的面积是原正方形面积的（ ） A． B． C． D． 6. .如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（ ） A．8 B．82 C．217 D．10
7．如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，错误的有（ ）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 8. 如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（ ）A、75° B、60° C、54° D、67.5°
9、边长为10cm的正方形ABCD绕对角线的交点O旋转到得到正方形OA′B′C′，如图所示，则阴影部分面积为（ ）A．100cm B．75cm C．50cm D．25cm
10、如图，点E，F在正方形ABCD的边BC，CD上，BE=CF.求证：⑴AE=BF；⑵AE⊥BF.
2
2
2
2
12131415 1
11、如图，在正方形ABCD中，E、F为AB、BC的中点，CE、DF交于M，求证：AM=AD。
12、如图，已知E、F分别是正方形的边BC、DC上的点，且∠EAF＝45°，求证：BE＋DF＝EF
A
BECDF
13. 已知：如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD上，∠FAE=∠BAE．求证：AF=BC+FC．
14、如图所示，ABCD是正方形，AE∥DB，BE＝BD，BE交AD于F，试说明：ΔDEF是腰三角形。
BAFEDC15、如图所示，在正方形ABCD中，E为BD上一点，AE的延长线交BC的延长线于F，交CD于H，G为FH中点，求证：EC⊥CG。 DA
0
16、设点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上滑动且保持∠EAF=45，AP⊥EF于点P （1）求证：AP=AB； （2）若AB=5，求ΔECF的周长。
2
EHBCGF15、证明：因为AD=DC ∠ADF=∠CDF=45° DF=DF ∴△ADF?△CDF ∴∠DAF=∠DCF
因为AD∥BC∴∠DAH=∠E∴∠DCF=∠E因为GH=GE ∠HCE=RT∠ ∴GH=GC=GE ∴∠GCE=∠E ∴∠DCF=∠GCE ∴∠DCF+∠HCG=∠GCE+∠HCG=90° 即∠FCG=90° ∴FC⊥CG
已知：如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AD、DC的中点，AF、BE交于点G，连结CG，求证： ΔCGB是等腰三角形。
如图，以正方形ABCD的边CD为一边在正方形外作等边△CDE，连接BE，交正方形的对角线AC于点F，连接DF，求∠AFD的度数．
AGEDFCB
如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE=1BC=1． 4（1）求证：CE=CF；（2）若G在AD上，连接GC，且∠GCE=45°，求∠GCF的度数；（3）在（2）的条件下，求GC的长度． （1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=CD，∠BCD=∠B=∠ADC=∠CDF=90°， 在△EBC和△FDC中 ∵ BE=DF ∠B=∠CDF
3
BC=CD
，
∴△EBC≌△FDC（SAS）， ∴CE=CF．
（2）解：∵△EBC≌△FDC， ∴∠BCE=∠DCF，
∵∠BCD=90°，∠GCE=45°， ∴∠BCE+∠GCD=90°-45°=45°， ∴∠GCD+∠DCF=45°， ∴∠GCF=45°．
（3）解：连接EG，
∠ECG=∠GCF=45°， 在△ECG和△FCG中 ∵
EC=CF
∠ECG=∠FCG
CG=CG
，
∴△ECG≌△FCG， ∴EG=GF， ∵DF=BE=
1 4
BC=1，
∴BC=CD=AD=AB=4，
设AG=x，则DG=4-x，GF=4-x+1=5-x=EG，AE=4-1=3，在Rt△AEG中，由勾股定理得：32+x2=（5-x）2， 解得：x=1.6， DG=4-1.6=2.4，
在Rt△GCD中，由勾股定理得：GC=
42
+2.42
=
22 5
．
4
如图，在正方形ABCD中，点F在CD上．
（1）若E是BC的中点，∠BAE=∠EAF，求证：AF=BC+FC；
（2）若E是BC上任意一点，∠BAE+∠DAF=∠EAF，试探究BE、EF、DF之间的关系，并说明理由．
如图1，点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，连接CN、DM．（1）判断CN、DM的数量关
系与位置关系，并说明理由；（2）如图2，设CN、DM的交点为H，连接BH，求证：△BCH是等腰三角形．
如图正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过A作AF⊥BE，交CD边于F，M是AD边上一点，且有BM＝DM＋CD． ⑴求证：点F是CD边的中点； ⑵求证：∠MBC＝2∠ABE． BCAEMDF 9、解：∵四边形ABCD是正方形． ∴AB=AD，∠BAF=∠DAF． ∴△ABF与△ADF全等．
5
∴∠AFD=∠AFB．
∵CB=CE，∴∠CBE=∠CEB．
∵∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°， ∴∠CBE=15°． ∵∠ACB=45°，
∴∠AFB=∠ACB+∠CBE=60°． ∴∠AFD=60°．
如图，所示，将五个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，其中点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点、如果有n个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积的总和是 _________ cm．
2
6
