1、高斯型低通滤波器在频域中的传递函数是
H(u,v)?e?D(u,v)2?
根据二维傅里叶性质，证明空间域的相应滤波器形式为 （这些闭合形式只适用于连续变量情况。）
22证明：H(u,v)?e?D由A2??e2??222(u,v)2?2=e?((u?M2)22?(v?N2)2)2?2(x2?y2)?Ae?(u?v2)2?222
((x?M2)2?(y?N2)2)可得其反变换为h(x,y)?2??e2??在证明中假设已经知道如下结论：函数的傅立叶变换为 2、第二版课本习题4.6（a）
证明：f?x,y????1?x?y?f?x,y??ej?(x?y)MN,?0?)22由傅里叶变换的平移性质得上式的傅里叶变换为：
F(u-?0,?0)?f?x,y??ej?(?0xM??0yN)(?0?将?0，?0的值带入可得其变换为：F(u-M2,v-N2)证毕。3、 观察如下所示图像。右边的图像这样得到：(a)在原始图像左边乘以；(b) 计算离散傅
里叶变换(DFT); (c) 对变换取复共轭; (d) 计算傅里叶反变换; (d) 结果的实部再乘以。(用数学方法解释为什么会产生右图的效果。)
证明：由a可得f2?x,y??f?x,y????1?x?y 取其共轭可得F2??u,v?，由其共轭性质只F2??u,v?=F2?-u,-v?由比例性质知F2??u,v?即F2?-u,-v?的反变换函数为f2(?x,?y)x?y（-x?y）x?yf2(?x,?y)???1?=f?-x,-y????1???1?=f?-x,-y?证毕。所以图像经过上述过程之后，可得到原来图像的翻转图像
由b对f2?x,y?进行傅里叶变换可得变换后的频域函数为F2?u,v?
4.请围绕本周课堂讲授的内容编写至少一道习题，并给出自己的分析解答。题目形式可以是填空题、选择题、判断对错题、计算题、证明题。发挥你的创造力吧。
判断题：如果f(x,y)是实函数，则其傅里叶变换是对称的即F(u,v)?F?(-u,-v) 答案：对
