二次函数 2的 y=ax 图象和性质
一. 平面直角坐标系: 1. 有关概念: 2. 平面内点的坐标: 3. 坐标平面内的点与有序 实数对是: 一一对应.
y(纵轴) P (a,b)第二象限
b第一象限
a第三象限
o
x(横轴)第四象限
坐标平面内的任意一点M,都有唯一一对有序实数(x,y)与它对应; 任意一对有序实数(x,y),在坐标平面内都有唯一的点M与它对应.
4. 点的位置及其坐标特征: y ①.各象限内的点:Q(b,-b) Q(0,b) C(m,n)
②.各坐标轴上的点: ③.各象限角平分线上的点:
M(a,b)
(-,+) o
(+,+)P(a,0)
N(a,-b)
x (+,-)B(-x,y)
④.对称于坐标轴的两点:
(-,-)D(-m,-n) P(a,a)
⑤.对称于原点的两点:
A(x,y)
x
y=x2 y= - x2 ...
... ...
-2 -1.5 4 2.25 -4 -2.25
-1 -0.5 1
0
0.5 0.25 -0.25
1 1 -1
1.5 2.25
2
...
0.25 0 -1 -0.25 0
4 -2.25 -4
... ...
函数图象画法
描点法
注意：列表时自变量 2 取值要均匀和对称。 y x画出下列函数的图象。
y x2
1 y x
列表 描点1 2 (1) y x 2 (2) y 2 x 2 2 2 (3) y x 3
连线
y x2
用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结
x1 y 22 y=x x 2
... ...
-4 -3 8 4.5
-2 -1 2
0 0 0 0 0 0
1 0.5 0.5 0.5 1 2 3
2 2 1 2 1.5 1.5
3 4.5 1.5 4.5 2 8 3
4 8
...
0.5
... ......
xy=2x2
... ...
-2 -1.5
-1 -0.5
28 3 -6
8
4.5
2
0.5-1 2 3
x22 2 y y=2x x 3
... -3 ... -6
-2 -1.5 8 3
... ...
1.5
1 y x2 2
y 2x2
列表参考
2 y x2
y x2
1 y x2 2
y 2x2
y x2
2 y x2 3
二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时 所经过的路线，我们把它叫做抛物线。
这条抛物线关于y轴 这条抛物线关于y轴 这条抛物线关于y轴 对称，y轴就是它的 对称，y轴就是它的 对称，y轴就是它的 对称轴。 对称轴。 对称轴。 对称轴与抛物线的交点 叫做抛物线的顶点。
y x21、观察右图， 并完成填空。 2、练习2 3、想一想 4、练习4二次函数y=ax2的性质 1、顶点坐标与对称轴 2、位置与开口方向 3、增减性与极值
y x2
y=x2 抛物线 y=-x2 (0,0) (0,0) 顶点坐标 在同一坐标系内，抛物线y=x2与抛物线 在同一坐标系内，抛物线y=x2与抛物线 y=-x22的位置有什么关系？如果在同一坐标系内 y轴 y轴 对称轴 y= -x 的位置有什么关系？ 如果在同一坐标系内 2与y= -ax2的图象，怎样画才简便？ 画函数y=ax 画函数y=ax2与y= -ax2的图象，怎样画才简便？ 在x轴的上方(除顶点外) 2
位置 答：抛物线抛物线y=x2与抛物线 y= -x在x轴的下方(除顶点外) 既关于x轴对 称，又关于原点对称。只要画出y=ax2与y= -ax2中的 开口方向 向上 向下 一条抛物线，另一条可利用关于x轴对称或关于原点 增减性对称来画。 动画演示 极值 当x=0时，最小值为0。 当x=0时，最大值为0。
y x
2
当a>0时，在对称轴的 左侧，y随着x的增大而 减小。 当a>0时，在对称轴的 右侧，y随着x的增大而 增大。 当a<0时，在对称轴的 左侧，y随着x的增大而 增大。 当x=-2时，y=4 当x=1时，y=1 当x=-1时，y=1 当x=2时，y=4
当x=-2时，y=-4 当x=1时，y=-1 当x=-1时，y=-1 当x=2时，y=-4
y x
当a<0时，在对称轴的 2 右侧，y随着x的增大而 减小。
y x2
二次函数y=ax2的性质
y x
2
1、抛物线y=ax2的顶点是原点，对称轴是y
轴。
2、当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上，并且 向上无限伸展； 当a<0时，抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下，并且 向下无限伸展。
3、当a>0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小； 在对称轴右侧，y随着x的增大而增大。当x=0时函数y的值最小。 当a<0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大； 在对称轴的右侧，y随着x增大而减小，当x=0时，函数y的值最大。
y 2x2
2、根据左边已画好的函数图象填空： (1)抛物线y=2x2的顶点坐标是 (0,0), 对称轴是 y轴 ，在 对称轴的右 侧，2 2 y x 3
y随着x的增大而增大；在 对称轴的左 侧， y随着x的增大而减小，当x= 0 时， 函数y的值最小，最小值是 0 ,抛物 线y=2x2在x轴的 上 方(除顶点外)。
(2)抛物线
2 y x 2在x轴的 3
下 方(除顶点外),在对称轴的
左侧，y随着x的 增大而增大 ；在对称轴的右侧，y随着x的 增大而减小 ，当x=0时，函数y的值最大，最大值是 当x 0 ,
0时，y<0.
1、已知抛物线y=ax2经过点A(-2,-8)。 (1)求此抛物线的函数解析式； (2)判断点B(-1,- 4)是否在此抛物线上。 (3)求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。 解(1)把(-2,-8)代入y=ax2,得 -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为 y= -2x2. (2)因为 4 2( 1) 2 ,所以点B(-1 ,-4) 不在此抛物线上。 (3)由-6=-2x2 ,得x2=3, x 3 所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是
( 3, 6)与( 3, 6)
3
3
( 3,6) y=-2x2
( 3,6)
课堂练习：p7“练习 ”第 4题
课外作业: p7“练习 ”第1,2,3题。
