《matlab与数学实验》实验报告
实验序号： 实验三 日期： 2015 年 5 月 22 日
x* ( x* ) , x* 是它的根， x0 是其近似根.牛顿法的基本思想： f ( x) 0 是非线性方程，一般较难解 决，多采用线性化方法. 附加题Eye() Diag(ones(7,1) ,1)
主要内容 (要点)4.分别用对分法、普通迭代法、松弛迭代法、Altken 迭代 法、牛顿切法线等 5 种方法，求方程 t x sin( x) 的正的近似 根， 0 t 1 .(建议取 t 0.5 ).时间许可的话，可进一步考虑 t 0.25 的情况.)
2 1 0 0 附加：思考：若 m 0 0 0 0
1 2 1 0 0 0 0 0
0 1 2 1 0 0 0 0
0 0 1 2 1 0 0 0
0 0 0 1 2 1 0 0
0 0 0 0 1 2 1 0
0 0 0 0 0 1 2 1
0 0 0 0 ,或 m 是类似的 0 0 1 2
但阶数更大的稀疏方阵，则 m 应如何得到？
实验过程 记录(含 基本步 骤、主要 程序清单 及异常情 况记录 等)
4、分别用对分法、普通迭代法、松弛迭代法、Altken 迭代 法、牛顿切法线等 5 种方法，求方程 t x sin( x) 的正的近似 根， 0 t 1 .(建议取 t 0.5 )
一、对分法
图像程序： f='sin(x)-0.5*x'; g='0'; ezplot(f, [-4, 4]); hold on; ezplot(g, [-4, 4]); grid on; axis([-4 4 -5 5]); hold off %目的是画出直线 y=0,即 x 轴
求解程序： clear
syms x fx; a=1.5;b=2; fx=sin(x)-0.5*x; x=(a+b
)/2;k=0; ffx=subs(fx,'x',x); if ffx==0; disp(['the root is:',num2str(x)]) else disp('k ak bk f(xk)')
while abs(ffx)>0.0001 & a<b; disp([num2str(k),' ',num2str(a),' fa=subs(fx,'x',a);ffx=subs(fx,'x',x); if fa*ffx<0 b=x; else a=x; end k=k+1;x=(a+b)/2; end disp([num2str(k),' ',num2str(a),' end 答案：k 0 1.5 1 1.75 2 1.875 3 1.875 4 1.875 5 1.8906 6 1.8906 7 1.8945 ak 2 2 2 1.9375 1.9063 1.9063 1.8984 1.8984 bk f(xk) ',num2str(b),' ',num2str(ffx)]) ',num2str(b),' ',num2str(ffx)])
0.10899 0.10899 0.016586 -0.035236 -0.0088639 0.0039768 -0.0024147 0.00078829
8 1.8945 9 1.8945
1.8965 1.8955
-0.00081139 -1.1094e-005
二、普通迭代法clear syms x fx gx; gx=2*sin(x);fx=sin(x)-0.5*x; disp('k x=1.9;k=0; ffx=subs(fx,'x',x); while abs(ffx)>0.0001; disp([num2str(k),' ',num2str(x),' ',num2str(ffx)]) x f(x)')
x=subs(gx,'x',x);ffx=subs(fx,'x',x);k=k+1; end disp([num2str(k),' ',num2str(x),' ',num2str(ffx)])
答案： k 0 1.9 1 1.8926 2 1.8973 3 1.8943 4 1.8962 5 1.895 6 1.8958 7 1.8953 8 1.8956 9 1.8954 x f(x) -0.0036999 0.0023664 -0.0015075 0.00096278 -0.00061391 0.00039186 -0.00024996 0.00015951 -0.00010176 6.4935e-005
三、松弛迭代法clear syms fx gx x dgx; gx=2*sin(x);fx=sin(x)-0.5*x;dgx=diff(gx, 'x'); x=1.9;k=0; ggx=subs(gx, 'x', x);ffx=subs(fx, 'x', x);dgxx=subs(dgx, 'x', x); disp('k x w') while abs(ffx)>0.0001; w=1/(1-dgxx); disp([num2str(k), ' num2str(w)]) x=(1-w)*x+w*ggx;k=k+1; ggx=subs(gx, 'x', x);ffx=subs(fx, 'x', x);dgxx=subs(dgx, 'x', x); end disp([num2str(k), ' ', num2str(x), ' ', num2str(w)]) ', num2str(x), ' ',
答案 k 0 1.9 1 1.8955 x w 0.60732 0.60732
四、Altken 迭代法clear syms x fx gx;
gx=2*sin(x);fx=sin(x)-0.5*x; disp('k x=1.9;k=0; ffx=subs(fx, 'x', x); while abs(ffx)>0.0001; u=subs(gx, 'x', x);v=subs(gx, 'x', u); disp([num2str(k), ' ' end disp([num2str(k), ' ', num2str(v)]) ', num2str(x), ' ', num2str(u), ' ', num2str(v)]) ', num2str(x), ' ', num2str(u), x x1 x2')
x=v-(v-u)^2/(v-2*u+x);k=k+1;ffx=subs(fx, 'x', x);
答案 k 0 1.9 1 1.8955 x x1 1.8926 1.8926 x2 1.8973 1.8973
五、牛顿切法clear syms x fx gx; fx=sin(x)-0.5*x;gx=diff(fx,'x'); x1=1.9;k=0; disp('k x1') fx1=subs(fx,'x',x1); gx1=subs(gx,'x',x1); while abs(fx1)>0.0001; disp([num2str(k),' ',num2str(x1)]) x1=x1-fx1/gx1;k=k+1; fx1=subs(fx,'x',x1); gx1=subs(gx,'x',x1); end disp([num2str(k),' ',num2str(x1)])
答案 k x1
0 1.9 1 1.8955
2 1 0 0 附加：思考：若 m 0 0 0 0
1 2 1 0 0 0 0 0
0 1 2 1 0 0 0 0
0 0 1 2 1 0 0 0
0 0 0 1 2 1 0 0
0 0 0 0 1 2 1 0
0 0 0 0 0 1 2 1
0 0 0 0 ,或 m 是类似的 0 0 1 2
但阶数更大的稀疏方阵，则 m 应如何得到？
clear A=eye(7); a1=diag(ones(7,1),1); a2=rot90(a1,2); a3=2*eye(8); m=a1+a2+a3; disp(m)
答案 2 1 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 1 2
实验结果 报告与实 验总结
实验结果： 一、对
分法 1.8945~1.8984 二、普通迭代法 1.8954 三、松弛迭代法 1.8955迭代步数：9 迭代步数：9 迭代步数：2 迭代步数：2
四、Altken 迭代法 1.8955 ~ 1.8926 五、牛顿切法 1.8955迭代步数：2
实验总结：在调试和运行的过程中，取不同的初值和 方程表达式，得到的运算结果与迭代次数都不相同， 所取得区间越精确，迭代次数就越少。所以我们可以 先通过画出函数的图像来大致判别根所在的区间，这 样能够比较快速准确地找出近似根。 附加题除了用 eyes 和 diag、rot90 的矩阵生成函数外， 直接相加即可生成。
教师评语
实验成绩
