新课程标准数学选修2-1第二章课后习题解答[唐金制]
新课程标准数学选修2—1第二章课后习题解答
第二章 圆锥曲线与方程 2．1曲线与方程 练习（P37）
1、是. 容易求出等腰三角形ABC的边BC上的中线AO所在直线的方程是x 0.
3218,b 2、a . 25253、解：设点A,M的坐标分别为(t,0)，(x,y). （1）当t 2时，直线CA斜率 kCA 所以，kCB
2 02
2 t2 t
1t 2
kCA2
t 2
(x 2). 2
由直线的点斜式方程，得直线CB的方程为 y 2 令x 0，得y 4 t，即点B的坐标为(0,4 t).
t4 t
由于点M是线段AB的中点，由中点坐标公式得x ,y .
22
t4 t
由x 得t 2x，代入y ，
224 2x
得y ，即x y 2 0……①
2 （2）当t 2时，可得点A,B的坐标分别为(2,0)，(0,2) 此时点M的坐标为(1,1)，它仍然适合方程①
由（1）（2）可知，方程①是点M的轨迹方程，它表示一条直线. 习题2.1 A组（P37）
1、解：点A(1, 2)、C(3,10)在方程x2 xy 2y 1 0表示的曲线上；
点B(2, 3)不在此曲线上
2、解：当c 0时，轨迹方程为x
c 1
；当c 0时，轨迹为整个坐标平面. 2
3、以两定点所在直线为x轴，线段AB垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，得点M的轨迹方程为x2 y2 4.
4、解法一：设圆x2 y2 6x 5 0的圆心为C，则点C的坐标是(3,0). 由题意，得CM AB，则有kCMkAB 1.
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所以，
yy
1(x 3,x 0) x 3x
化简得x2 y2 3x 0(x 3,x 0)
当x 3时，y 0，点(3,0)适合题意；当x 0时，y 0，点(0,0)不合题意.
22 5 x
y 3x 0
解方程组 2， 得 x ,y 2
3 x y 6x 5 0
所以，点M的轨迹方程是x2 y2 3x 0， 解法二：注意到 OCM是直角三角形，
5
x 3. 3
利用勾股定理，得x2 y2 (x 3)2 y2 9， 即x2 y2 3x 0. 其他同解法一. 习题2.1 B组（P37）
1、解：由题意，设经过点P的直线l的方程为 因为直线l经过点P(3,4)，所以 因此，ab 4a 3b 0
由已知点M的坐标为(a,b)，所以点M的轨迹方程为xy 4x 3y 0. 2、解：如图，设动圆圆心M的坐标为(x,y).
由于动圆截直线3x y 0和3x y 0所得弦分别为
xy
1. ab
34 1 ab
AB，CD，所以，AB 8，CD 4. 过点M分别 作直线3x y 0和3x y 0的垂线，垂足分别为E，
F，则AE 4，CF 2.
ME
，MF
.
连接MA，MC，因为MA MC， 则有，AE ME CF MF
2
2
2
2
(3x y)2(3x y)2
4 所以，16 ，化简得，xy 10. 1010因此，动圆圆心的轨迹方程是xy 10.
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2．2椭圆 练习（P42）
1、14. 提示：根据椭圆的定义，PF1 PF2 20，因为PF2 14. 1 6，所以PF
x2y2x2y2y2x222
x 1； （3） 2、（1） y 1； （2） 1，或 1.
1616361636163、解：由已知，a 5，b 4，所以c 3. （1） AF1B的周长 AF1 AF2 BF1 BF2.
由椭圆的定义，得AF1 AF2 2a，BF1 BF2 2a. 所以， AF1B的周长 4a 20.
（2）如果AB不垂直于x轴， AF1B的周长不变化.
这是因为①②两式仍然成立， AF1B的周长 20，这是定值. 4、解：设点M的坐标为(x,y)，由已知，得
直线AM的斜率 kAM 直线BM的斜率 kBM由题意，得
y
(x 1)； x 1y (x 1)； x 1
yykAM
2 (x 1,y 0) 2，所以
x 1x 1kBM
化简，得x 3(y 0)
因此，点M的轨迹是直线x 3，并去掉点( 3,0).
练习（P48）
1、以点B2（或B1）为圆心，以线段OA2（或OA1为半径画圆，圆与x轴的两个交点分别为F1,F2. 点F1,F2就是椭圆的两个焦点.
这是因为，在Rt B2OF2中，OB2 b，B2F2 所以，OF2 c. 同样有OF1 c. 2、（1）焦点坐标为( 8,0)，(8,0)； （2）焦点坐标为(0,2)，(0, 2).
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3、（1） 1； （2） 1.
36322516
x2y2x2y2y2x2
1，或 1. 4、（1） 1 （2）
100641006494
1x2y2 1的离心率是， 5、（1）椭圆9x y
36的离心率是，椭圆
216123
2
2
x2y21
1更圆，椭圆9x2 y2 36更扁；
，所以，椭圆
16122x2y2
1（2）椭圆x 9y
36，椭圆 ，
6102
2
x2y2 1更圆，椭圆x2 9y2 36更扁.
因为，所以，椭圆
61035848706、（1）(3,)； （2）(0,2)； （3）( , ). 7
、.
537377习题2.2 A组（P49）
1、解：由点M(x,y
) 10以及椭圆的定义得，
点M的轨迹是以F1(0, 3)，F2(0,3)为焦点，长轴长为10的椭圆.
y2x2
1. 它的方程是
2516
x2y2y2x2x2y2y2x2
1，或 1. 1； （2） 1； （3） 2、（1）
4940494036322593、（1）不等式 2 x 2， 4 y 4表示的区域的公共部分； （2
）不等式 x ，
1010
y 表示的区域的公共部分. 图略. 33
4、（1）长轴长2a 8，短轴长2b
4，离心率e
焦点坐标分别是(
，，顶点坐标分别为( 4,0)，(4,0)，(0, 2)，(0,2)； （2）长轴长2a 18，短轴长2b
6，离心率e
，
3
焦点坐标分别是(0,
，，顶点坐标分别为(0, 9)，(0,9)，( 3,0)，(3,0).
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5、（1） 1； （2） y 1，或 1；
985819x2y2y2x2
1，或 1. （3）
2592596、解：由已知，椭圆的焦距F1F2 2.
1
因为 PF1F2的面积等于1，所以， F1F2 yP 1，解得yP 1.
2
x21 代入椭圆的方程，得
1，解得x .
542 所以，点P
的坐标是(
1)，共有4个. 2
7、解：如图，连接QA. 由已知，得QA QP. 所以，QO QA QO QP OP r. 又因为点A在圆内，所以OA OP
（第7题）
根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O,A为焦点，r为长轴长的椭圆. 8、解：设这组平行线的方程为y
3
x m. 2
3x2y2
1，得9x2 6mx 2m2 18 0. 把y x m代入椭圆方程
249 这个方程根的判别式 36m2 36(2m2 18) （1）由
0，得 m 当这组直线在y
轴上的截距的取值范围是( 时，直线与椭圆相交. （2）设直线与椭圆相交得到线段AB，并设线段AB的中点为M(x,y).
x1 x2m
. 23
3m
因为点M在直线y x m上，与x 联立，消去m，得3x 2y 0.
23
这说明点M的轨迹是这条直线被椭圆截下的弦（不包括端点），这些弦的中点在一
条直线上. 则 x
x2y2
1.
9、
3.52522.8752
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10、地球到太阳的最大距离为1.5288 108km，最下距离为1.4712 108km. 习题2.2 B组（P50）
1、解：设点M的坐标为(x,y)，点P的坐标为(x0,y0)，
则x x0，y
3y02
. 所以x0 x，y0 y ……①. 23
22
因为点P(x0,y0)在圆上，所以x0 y0 4 ……②.
42x2y2将①代入②，得点M的轨迹方程为x y 4，即 1
949
2
所以，点M的轨迹是一个椭圆
与例2相比可见，椭圆也可以看作是由圆沿某个方向压缩或拉伸得到.
2、解法一：设动圆圆心为P(x,y)，半径为R，两已知圆的圆心分别为O1,O2.
分别将两已知圆的方程 x2 y2 6x 5 0，x2 y2 6x 91 0 配方，得 (x 3)2 y2 4， (x 3)2 y2 100
当 P与 O1：(x 3)2 y2 4外切时，有O1P R 2 ……① 当 P与 O2：(x 3)2 y2 100内切时，有O2P 10 R ……② ①②两式的两边分别相加，得O1P O2P 12
12 ……③ 化简方程③.
先移项，再两边分别平方，并整理，得
12 x ……④ 将④两边分别平方，并整理，得 3x2 4y2 108 0 ……⑤
x2y2
1 ……⑥ 将常数项移至方程的右边，两边分别除以108，得
3627由方程⑥可知，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴和短轴长分别为12
，
12 ……①
由方程①可知，动圆圆心P(x,y)到点O1( 3,0)和点O2(3,0)距离的和是常数12， 所以点P的轨迹方程是焦点为( 3,0)、(3,0)，长轴长等于12的椭圆.
并且这个椭圆的中心与坐标原点重合，焦点在x轴上，于是可求出它的标准方程. 因为 2c 6，2a 12，所以c 3，a 6
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所以b2 36 9 27.
x2y2
1. 于是，动圆圆心的轨迹方程为
3627
MF1
3、解：设d是点M到直线x 8的距离，根据题意，所求轨迹就是集合P Md2 由此得
1
2
2
2
x2y2
将上式两边平方，并化简，得 3x 4y 48，即 1
1612 所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为8，. 4、解：如图，由已知，得E(0, 3)，F 因为R,S,T是线段OF R ,S ,T 是线段CF 所以，R(1,0),S(2,0),T(3,0)；
933
R (4,),S (4,),T (4,).
424 直线ER的方程是y 3x 3；
3x 3.
16（第4题）
3245
联立这两个方程，解得 x ,y .
17173245
所以，点L的坐标是(,).
17171699621
同样，点M的坐标是(,)，点N的坐标是(,).
552525
直线GR 的方程是y
x2y2
由作图可见，可以设椭圆的方程为2 2 1(m 0,n 0) ……①
mn 把点L,M的坐标代入方程①，并解方程组，得
1111
，. m242n232
x2y2
1. 所以经过点L,M的椭圆方程为
169
196121x2y2
把点N的坐标代入 ，得 ()2 ()2 1，
1625925169
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x2y2
所以，点N在 1上.
169
x2y2
因此，点L,M,N都在椭圆 1上.
1692．3双曲线 练习（P55）
x2y2y22
1. 1、（1） 1. （2）x 3169 （3）解法一：因为双曲线的焦点在y轴上
y2x2
所以，可设它的标准方程为2 2 1(a 0,b 0)
ab 将点(2, 5)代入方程，得 又 a2 b2 36
2222 ab 4a 25b 0
解方程组 2 2
a b 36
2542222
1ab 4a 25b 0 ，即22ab
mn 4m 25n 0
令m a2,n b2，代入方程组，得
m n 36 m 20 m 45
解得 ，或
n 16n 9
第二组不合题意，舍去，得a2 20,b2 16
y2x2
1
所求双曲线的标准方程为
2016
解法二：根据双曲线的定义，有2a
所以，a 又c 6，所以b2 36 20 16
y2x2
1. 由已知，双曲线的焦点在y轴上，所以所求双曲线的标准方程为
20162、提示：根据椭圆中a2 b2 c2和双曲线中a2 b2 c2的关系式分别求出椭圆、双曲线的焦点坐标.
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3、由(2 m)(m 1) 0，解得m 2，或m 1 练习（P61）
1、（1
）实轴长2a 2b
4；顶点坐标为 ； 焦点坐标为(6,0),(
6,0)；离心率e
. 4
（2）实轴长2a 6，虚轴长2b 18；顶点坐标为(3,0),( 3,0)；
焦点坐标为
；离心率e（3）实轴长2a 4，虚轴长2b 4；顶点坐标为(0,2),(0, 2)；
焦点坐标为
；离心率e （4）实轴长2a 10，虚轴长2b 14；顶点坐标为(0,5),(0, 5)；
焦点坐标为
；离心率e
5
x2y2y2x2x2y2
1； （2） 1. 3、 1 2、（1）
169362835x2y2
1，渐近线方程为y x. 4、
181814225
5、（1）(6,2),(, )； （2）(,3)
334
习题2.3 A组（P61）
y2x2
1. 因为a 8，由双曲线定义可知，点P到两焦点距1、把方程化为标准方程，得
6416离的差的绝对值等于16. 因此点P到另一焦点的距离是17.
x2y2x2y2
1. （2） 1 2、（1）
201625755
； 35
（2）焦点坐标为F1(0, 5),F2(0,5)，离心率e ；
43、（1）焦点坐标为F1( 5,0),F2(5,0)，离心率e
x2y2y2x2
1. （2） 1 4、（1）
2516916 （3
）解：因为e
c
c2 2a2，因此b2 c2 a2 2a2 a2 a2. a
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x2y2y2x2
设双曲线的标准方程为 2 2 1，或2 2 1.
aaaa 将( 5,3)代入上面的两个方程，得
259925
1 2 1. ，或222aaaa
解得 a2 16 （后一个方程无解）.
x2y2
所以，所求的双曲线方程为 1.
16165、解：连接QA，由已知，得QA QP. 所以，QA QO QP QO OP r. 又因为点A在圆外，所以OA OP.
根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以O,A为焦点，r为实轴长的双曲线.
x2y2
1. 6、
88习题2.3 B组（P62）
x2y2
1 1、
169
2、解：由声速及A,B两处听到爆炸声的时间差，可知A,B两处与爆炸点的距离的差，
因此爆炸点应位于以A,B为焦点的双曲线上.
使A,B两点在x轴上，并且原点O与线段AB的中点重合，建立直角坐标系xOy. 设爆炸点P的坐标为(x,y)，则 PA PB 340 3 1020. 即 2a 1020，a 510.
又AB 1400，所以2c 1400，c 700，b2 c2 a2 229900.
x2y2
1. 因此，所求双曲线的方程为
260100229900
x2y2
3、2 2 1
ab
4、解：设点A(x1,y1)，B(x2,y2)在双曲线上，且线段AB的中点为M(x,y).
设经过点P的直线l的方程为y 1 k(x 1)，即y kx 1 k
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y2
把y kx 1 k代入双曲线的方程x 1得
2
2
(2 k2)x2 2k( 1kx) ( 12k )（ 22 0k2 0） ……①
x1 x2k(1 k)
2
22 kk(1 k)
1，解得 k 2. 由题意，得
2 k2所以，x
当k 2时，方程①成为2x2 4x 3 0.
根的判别式 16 24 8 0，方程①没有实数解.
所以，不能作一条直线l与双曲线交于A,B两点，且点P是线段AB的中点.
2．4抛物线 练习（P67）
1、（1）y2 12x； （2）y2 x； （3）y2 4x,y2 4x,x2 4y,x2 4y.
112、（1）焦点坐标F(5,0)，准线方程x 5； （2）焦点坐标F(0,)，准线方程y ；
88
55
（3）焦点坐标F( ,0)，准线方程x ； （4）焦点坐标F(0, 2)，准线方程y 2；
88p
3、（1）a，a . （2
）
，(6,
2
提示：由抛物线的标准方程求出准线方程. 由抛物线的定义，点M到准线的距离等于9，
所以 x 3 9，x
6，y 练习（P72）
16
1、（1）y2 x； （2）x2 20y；
5（3）y2 16x； （4）x2 32y. 2、图形见右，x的系数越大，抛物线的开口越大. 3、解：过点M(2,0)且斜率为1的直线l的方程 为y x 2
y x 2
与抛物线的方程y 4x联立 2
y 4x
2
x1 4 x2 4 解得
y1 2 y2 2 设A(x1,y1)，B(x2,y
2)，则AB
4、解：设直线AB的方程为x a(a 0).
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将x a代入抛物线方程y2 4x，得y2
4a，即y . 因为
AB 2y 2 ， 所以，a 3
因此，直线AB的方程为x 3.
习题2.4 A组（P73）
11
1、（1）焦点坐标F(0,)，准线方程y ；
2233
（2）焦点坐标F(0, )，准线方程y ；
161611
（3）焦点坐标F( ,0)，准线方程x ；
8833
（4）焦点坐标F(,0)，准线方程x .
222、（1）y2 8x； （2
）
，或(4,
3、解：由抛物线的方程y2 2px(p 0)，得它的准线方程为x
p
. 2
根据抛物线的定义，由MF 2p，可知，点M的准线的距离为2p. 设点M的坐标为(x,y)，则 x 将x
p3p 2p，解得x . 22
3p
代入y2
2px中，得y . 2
3p3p
因此，点M
的坐标为(
)，(,).
224、（1）y2 24x，y2 24x； （2）x2 12y（图略）
5、解：因为 xFM 60 ，所以线段FM
所在直线的斜率k tan60 . 因此，直线FM的方程为
y x 1)
y x 1)
与抛物线y
4x联立，得
2
y 4x
1
将代入得，3x2 10x 3 0，解得，x1 ，x2 3
3
2
把x1
1，x2 3分别代入①得
y1
，y2 31不合题意，所以点M
的坐标为. 由第5
题图知(,
33
因此，FM 4
6、证明：将y x 2代入y2 2x中，得(x 2)2 2x，
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化简得 x2 6x 4 0，解得
x 3 则
y 3 2 1 因为
kOB
，kOA
1 5
1 9 5
所以
kOB kOA 所以 OA OB
7、这条抛物线的方程是x2 17.5y 8、解：建立如图所示的直角坐标系，
设拱桥抛物线的方程为x2 2py， 因为拱桥离水面2 m，水面宽4 m 所以 22 2p( 2)，p 1
因此，抛物线方程为x 2y ……①
2
（第8题）
水面下降1 m，则y 3，代入①式，得x2 2 (
3)，x
这时水面宽为m.
习题2.2 B组（P74）
1、解：设垂线段的中点坐标为(x,y)，抛物线上相应点的坐标为(x1,y1).
根据题意，x1 x，y1 2y，代入y12 2px1，得轨迹方程为y2
1
px. 2
p
由方程可知，轨迹为顶点在原点、焦点坐标为(,0)的抛物线.
8
2、解：设这个等边三角形OAB的顶点A,B在抛物线上，且坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，
2
则 y12 2px1，y2 2px2.
222又OA OB，所以 x1 y12 x2 y2
22即x12 x2) 2p(x1 x2) 0 2px1 2px2 0，(x12 x2
因此，(x1 x2)(x1 x2 2p) 0 因为x1 0,x2 0,2p 0，所以x1 x2 由此可得y1 y2，即线段AB关于x轴对称.
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因为x轴垂直于AB，且 AOx 30
，所以
y1. tan30
x13
y12
因为x1
，所以y1
，因此AB 2y1 .
2p
3、解：设点M的坐标为(x,y)
y
(x 1). x 1y
(x 1). 直线BM的斜率 kBM
x 1yy 2(x 1)，由题意，得kAM kBM 2，化简，得x2 (y 1)(x 1) x 1x 1由已知，得 直线AM的斜率 kAM
第二章 复习参考题A组（P80）
1、解：如图，建立直角坐标系，使点A,B,F2在x轴上，F2为椭圆的右焦点（记F1为左焦点）.
x2y2
因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为2 2 1(a b 0).
a
则 a c OA OF2 F2A 6371 439 6810，
a c OB OF2 F2B 6371 2384 8755解得 a 7782.5，c 8755
所以 b 用计算器算得 b 7722
x2y2
1. 因此，卫星的轨道方程是
7783277222
（第1题）
2R r1 r2
a a c R r1 2
2、解：由题意，得 ， 解此方程组，得
r ra c R r 2 c 21
2
因此卫星轨道的离心率e
3、（1）D； （2）B.
4、（1）当 0 时，方程表示圆.
cr2 r1
. a2R r1 r2
y2
1. 方程表示焦点在y轴上的椭圆. （2）当0 90 时，方程化成x cos
2
新课程标准数学选修2-1第二章课后习题解答[唐金制]
（3）当 90 时，x2 1，即x 1，方程表示平行于y轴的两条直线.
0 180 时， （4）当9因为cos 0，所以x2 y2cos 1表示双曲线，其焦点在x轴
上. 而当 180 时，方程表示等轴双曲线. 5、解：将y kx 1代入方程x2 y2 4
得 x2 k2x2 2kx 1 4 0 即 (1 k2)x2 2kx 5 0 ……① 4k2 20(1 k2令
0，解得k
2
6) 20 k1
，或k 22
因为 0，方程①无解，即直线与双曲线没有公共点， 所以，k
的取值范围为k
，或k pp
6、提示：设抛物线方程为y2 2px，则点B的坐标为(,p)，点C的坐标为(, p)
22 设点P的坐标为(x,y)，则点Q的坐标为(x,0).
因为，PQ y BC 2p，OQ x.
所以，PQ BCOQ，即PQ是BC和OQ的比例中项.
7、解：设等边三角形的另外两个顶点分别是A,B，其中点A在x轴上方.
直线FA的方程为
y
2
p
x ) 32
与y2 2px联立，消去x，得
y2 p2 0 解方程，得
y1
2)p，y2 2)p
把y1
2)p代入y
7p
x )，得
x1 ( p.
227p
x )，得
x2 ( p.
232
把y2
2)p代入y
77
所以，满足条件的点A
有两个A1(( p
2)p)，A2(( p2)p).
22
新课程标准数学选修2-1第二章课后习题解答[唐金制]
7
根据图形的对称性，可得满足条件的点B
也有两个B1(( p,
2)p)，
27
B2(( p, 2)p)
2
所以，等边三角形的边长是A1B1
2)p，或者A2B2 2(2p. 8、解：设直线l的方程为y 2x m.
把y 2x m代入双曲线的方程2x2 3y2 6 0，得10x2 12mx 3m2 6 0.
6m3m2 6
x1 x2 ，x1x2 ……①
510由已知，得 (1 4)[(x1 x2)2 4x1x2] 16 ……② 把①代入②，解得
m
3
3
所以，直线l
的方程为y 2x
9、解：设点A的坐标为(x1,y1)，点B的坐标为(x2,y2)，点M的坐标为(x,y).
并设经过点M的直线l的方程为y 1 k(x 2)，即y kx 1 2k.
y2
1，得 把y kx 1 2k代入双曲线的方程x 2
2
(2 k2)x2 2k( 1k2x) 所以，x
22
(1k2 ) (2 k0 0. )……①
x1 x2k(1 2k)
2
22 kk(1 2k)
2，解得k 4 由题意，得2
2 k当k 4时，方程①成为 14x2 56x 51 0
根的判别式 562 56 51 280 0，方程①有实数解. 所以，直线l的方程为y 4x 7.
10、解：设点C的坐标为(x,y).
由已知，得 直线AC的斜率 kAC 直线BC的斜率 kBC
y
(x 5) x 5y (x 5) x 5
