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数理方程与特殊函数任课教师：杨春 Email: yc517922@http:// 数学科学学院1
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本次课主要内容拉普拉斯变换的定义与性质(一)、拉普拉斯变换的定义 (二)、拉普拉斯变换的基本性质 (三)、展开定理
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(一)、拉普拉斯变换的定义1、拉普拉斯变换的引入傅立叶变换存在的条件为：(充分条件) (1) f(x)在(-∞,+∞)绝对可积；
(2) f(x)在任意有限区间分段光滑。该条件很苛刻！很多常用函数都不满足条件(1),如：x, sinx, cosx,等。 同时，在应用上，要能够使用傅立叶变换，必须要求对 应变量是全无界变量。但在物理和无线电等技术中，许多 涉及时间的问题不满足该要求。3
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为了克服傅立叶变换的两大缺点，我们采用如下两个方 法： 其一：对给定的在(0 ,+∞)上的函数f(x),引进新函数 f1(x),使得在x<0时，其函数值为0.
其二：对函数f(x)采取如下衰减处理：
e x f ( x), x 0, 0于是，对函数f(x),我们引进：
e x f ( x), x 0, 0 f1 ( x) 0, x 04
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函数f1(x)的傅立叶变换就可能存在，此时有：
( ) f ( x)e i x dx f ( x)e ( i ) x dx f1 1 0
令：s=σ+iλ,则：
( s) f ( x)e sx dx f1 0
2、拉普拉斯变换的定义
( s) f ( x)e sx dx 积分变换： f 0
称为函数f(x)的拉普拉斯变换，其中 s=σ+iλ ,记为：
L[ f ( x)] f (s)
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下面，考虑f(x) 的拉普拉斯逆变换。 在[0 ,+∞)内，有： 所以，有：
f ( x) e x
x
f1 ( x)
f ( x) e
f1 ( x)
1 2 1 2 1 2 i
f ( x)e i x dx e ( i ) x d 1 f ( x)e ( i ) x dx e( i ) x d 0 f ( s )e sx ds ( x 0)
i i
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称
1 f ( x) 2 i
i i
f ( s )e sx ds
为函数 f (s)的拉普拉斯逆变换，记为：
L 1[ f (s)] f ( x)3、拉普拉斯变换存在定理存在定理：若函数f(x)满足如下条件： (1) 当x <0时，f(x)=0; 当x>0时，f(x)在任一有限区间 上分段连续； (2) 当x
+∞时，存在常数M及б 0≥0,使
f ( x) Me 0 x7
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那么，函数f(x)在半平面Res>б 0上存在拉普拉
斯变换， 且f (s) 解析。 证明 :(1)
0
f ( x)e
sx
dx
0
Me ( 0 ) x dx
M , 0 0所以，函数f(x)在半平面Res>б 0上存在拉普拉斯变换。
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(2) 证明 f (s)解析 先证明：积分
0
f ( x )e sx dx s
在半平面
Res>б0上一致收敛取б >б 1>б0
(б 1是任意实常数),则有：
0
f ( x)e sx dx s
0
f ( x)e sx dx s
0
Mxe
( 1 0 ) x
M dx ( 1 0 ) 29
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说明积分：
0
f ( x )e sx dx s
在半平面Res>б 0上一致收敛，所以，可交换积分与微分次 序，即：
d d f (s) ds ds
0
f ( x )e sx dx
0
d f ( x )e sx dx ds
于是得：
f ( s )
M ( 1 0 ) 210
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所以，f (s)的导数在半平面Res>б 0上处处存在且有限，因 此，函数f(x)在半平面Res>б 0上存在拉普拉斯变换，且f (s) 解析。 注： (1) 拉普拉斯变换存在定理的条件是充分的； (2) 物理学和工程技术中遇到的函数大都能够满足这两 个条件。因为：一个函数的增大要求不超过某指数函数的 增大与要求函数绝对可积相比较，后者的条件强得多！ 例如：三角函数sinkx、coskx,幂函数tm等都存在拉普 拉斯变换，但其傅立叶变换都不存在。 所以，拉普拉斯变换在物理和工程技术中比傅立叶变换 用得更为普遍！
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4、利用定义求函数的拉普拉斯变换
例1 求函数f(x)的拉普拉斯变换 1, (t 0) (1), u (t ) 0, (t 0)
(2),sin kt , cos kt , (k为实常数)
(3), eat , (a为实常数)
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解 :(1) 由拉氏变换定义有：
L u (t ) 1 e st dt0
1 st e s 1 st e s
0
0
Re( s ) 0
1 s13
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(2) 由拉氏变换定义有：
L sin kt 1 2i
0
sin kt e dt
st
0
eikt e ikt e st dt
1 ( s ik ) t e dt e ( s ik ) t dt 0 2i 0
Re( s ) 0
1 1 1 s ik s ik 2i 14
k 2 s k2
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同理：
L cos kt s 2 s k2
0
cos kt e dt
st
(3) 由拉氏变换定义有：
e eat e st dt L
0atRe( s ) a
1 s a15
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注：在求函数f(x)的拉普拉斯变换时，结果中必须标明像 函数的定义域。
(二)、拉普拉斯变换的基本性质性质1.(线性定理)
L f1 f2 L[ f1 ] L[ f 2 ] L 1 f1 f 2 L 1[ f1 ] L 1[ f 2 ] 证明：
L f1 f 2
0
f1 f2 e sx dx 16
