9.6 可积性理论补叙 数学分析课件(华师大 四版) 高教社ppt 华东师大教材配套课件
数学分析 第九章 定积分
*§6 可积性理论补叙
本节首先证明达 布定理 , 然后用达布定理 证明函数可积的第一、第 二、第三充要条件, 其中 第二充要条件即为第三节 中介绍的可积准则.
一、上和与下和的性质 二、可积的充要条件
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*§6 可积性理论补叙上和与下和的性质可积的充要条件
上和与下和的性质
由§2,若f在[a,b]上有界,则对[a,b]的分割
T:a x0 x1 xn b,有相应的上和与下和:
S(T) MiΔxi,
i 1n
s(T) miΔxi,
i 1
n
其中Mi sup{f(x)|x [xi 1,xi]},i 1,2, ,n,
mi inf{f(x)|x [xi 1,xi]},i 1,2, ,n.
S(T) s(T) (Mi mi) xi i xi,
n
n
这里 i Mi mi
sup |f(x ) f(x )|
i 1
i 1
x ,x [xi 1,xi] ,
后退
前进
目录
退出
是f在[xi-1,xi]上的振幅.
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*§6 可积性理论补叙上和与下和的性质可积的充要条件
上和的几何意义:
曲边梯形“外接”矩形面积之和.
下和的几何意义:曲边梯形“内接”矩形
面积之和.
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上和与下和的性质可积的充要条件
证 i [xi 1,xi],f( i) Mi,i 1,2, ,n,
f( i)Δxi MiΔxi S(T),
i 1
i 1
nn
n
即S(T)是 f( i)Δxi i [xi 1,xi],i 1,2, ,n
i 1
的一个上界.
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*§6 可积性理论补叙上和与下和的性质可积的充要条件
0,由于Mi sup f(x)x [xi 1,xi] ,因此 i [xi 1,xi],使
f( i) Mi .
于是b ann
f( i) xi (Mi ) xi b ai 1i 1
nn
Mi xi xi S(T) . b ai 1i 1
所以证得
类似有
n
S(T) sup f( i)Δxi i [xi 1,xi],i 1,2, ,n .
i 1 n
s(T) inf f( i)Δxi i [xi 1,xi],i 1,2, ,n .
i 1
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上和与下和的性质可积的充要条件
设T'为分割T添加p个新分点后所得到的分割,则
S(T) S(T ) S(T) (M m)p||T||,
s(T) s(T ) s(T) (M m)p||T||.
证为方便起见,记T0 T,Ti为添加i个新分点后所得到的分割,T' Tp.
设T1中新加入的那个分点落在T的某小区间Δk 与 k .内，它把 k分为两小区间，记为 k
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*§6 可积性理论补叙上和与下和的性质可积的充要条件
此时
S(T0) S(T1)
Δxk Mk Δxk ) MiΔxi ( MiΔxi Mk
i 1
i k
n
Δxk ) (Mk Δxk Mk Δxk ) Mk(Δxk
)Δxk (Mk Mk )Δxk . (Mk Mk
由于
(或Mk ) Mk M,m Mk
故有
0 S(T0) S(T1) (M m)Δxk (M m)||T||.
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*§6 可积性理论补叙上和与下和的性质可积的充要条件
同理有
0 S(Ti) S(Ti 1) (M m)||Ti||.
p 1
因此证得
p 1
0 S(T0) S(Tp) [S(Ti) S(Ti 1)]
i 0
即
(M m) ||Ti|| (M m)p||T||，
i 0
S(T) S(T ) S(T) (M m)p||T||.类似可证
s(T) s(T ) s(T) (M m)p||T||.
由性质2 可直接得到:
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上和与下和的性质可积的充要条件
若T 与T 为任意两个分割,T T T 表示把T 与T 的所有分点合并得到的分割,则
S(T) S(T ),S(T) S(T ),
s(T) s(T ),s(T) s(T ).
对于任意分割T 与T ,总有s(T ) S(T ).
证令T T T ,则
s(T ) s(T) S(T) S(T ).
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可积的充要条件
设f是[a,b]上的有界函数,由性质4知道
S infS(T),s sups(T)
T
都存在,分别称为f 在[ a, b ]上的上积分与下积分.
T
m(b a) s S M(b a).
||T|| 0
limS(T) S,lims(T) s.
||T|| 0
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*§6 可积性理论补叙上和与下和的性质可积的充要条件
证 0, 分割T ,使得S(T ) S 2.设T 由p个分点所构成,令
0,
2(M m)p 1
T T 至多比T多p个新分点，则当T 时，
因此由性质2 和性质3 , 得到
S T M m p S T T S T ,
S S T S T M m p S
则
||T|| 0
limS(T) S.
22
类似可证:lims(T) s.
||T|| 0
S ,
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上和与下和的性质可积的充要条件
可积的充要条件
f在[a,b]上可积的充要条件是:f在[a,b]上的上积分与下积分相等,即S s.
证(必要性)设f在[a,b]上可积, 0, 0,
n当||T|| 时,有
f( i) xi J ,
i 1
即
J f( i) xi J .
i 1
n
由性质1,得J s(T) S(T) J ,即
S T J ,s T J .
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*§6 可积性理论补叙上和与下和的性质可积的充要条件
因此由达布定理,得到
S S(T) J和 s s(T) J,
T 0
T 0
故证得S s.
(充分性)设S s J,则由达布定理,
limS(T) lims(T) J.
||T|| 0
||T|| 0
从而 0, 0,当T 时，
J s(T) S(T) J .
n
由于 i [xi 1,xi],s(T) f( i) xi S(T),
因此
且
f( i) xi J .即 f在[a,b]上可积,i 1b
f()dx J. a
n
i 1
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上和与下和的性质可积的充要条件
义知道，上述充几何意义由上和与下和的几何意要条件的几何意义为：
图中包围曲线y f(x)的
一系列小矩形面积之和可以达到任意小,只要对[a,b]的分割T足够地细
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*§6 可积性理论补叙上和与下和的性质可积的充要条件
证(必要性)设f在[a,b]上可积,则
||T|| 0
limS(T) s(T) S s 0.
因此， 0, 0,当T 时，就有
S(T) s(T) .
(充分性)若 T,使S(T) s(T) ,则
0 S s S(T) s(T) .
由 的任意性，必有S s.依据可积的第一充要条
件,证得f(x)可积.
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上和与下和的性质可积的充要条件
f在[a,b]上可积的充要条件是: 0, 0,存
在分割T,使得属于T的所有小区间中,对应于振
的那些小区间Δ 幅 kk的总长 Δxk .
k
证(必要性)设f在[a,b]上可积，由可积的第二充要条件,存在分割T,使
k
Δx
kk
k
.于是
Δxk k Δxk kΔxk ,
k'
k
即得
Δxk .
k'
