高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式第2节一般形式的柯西不等式创新应用教学案新人教A版选修4_5
[核心必知]
1．三维形式的柯西不等式
设a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则
(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2，当且仅当bi＝0(i ＝1，2，3)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，3)时，等号成立．2．一般形式的柯西不等式
设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则
(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋…＋anbn)2，当且仅当bi ＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立．
[问题思考]
1．在一般形式的柯西不等式的右端中，表达式写成ai·bi(i＝1，2，3，…，n)，可以吗？
提示：不可以，ai·bi的顺序要与左侧ai，bi的顺序一致．
2．在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为ai＝kbi(i ＝1，2，3，…，n)，可以吗？
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提示：不可以．若bi＝0而ai≠0，则k不存在．
设a，b，c
求证：＋＋>.
[精讲详析] 本题考查三维形式的柯西不等式的应用．解答本题
需要构造两组数据，，；，，，然后利用柯西不等式解决．
构造两组数，，
c＋a；，，，
则由柯西不等式得
(a＋b＋b＋c＋c＋a)≥(1＋1＋1)2，①
即2(a＋b＋c)≥9，
于是＋＋≥.
由柯西不等式知，
①中有等号成立?＝＝?a＋b＝b＋c＝c＋a?a＝b＝c.
因题设，a，b，c不全相等，故①中等号不成立，
于是＋＋>.
柯西不等式的结构特征可以记为(a1＋a2＋…＋an)·(b1＋b2＋…
＋bn)≥(＋＋…＋)2，其中ai，bi∈R＋(i＝1，2，…，n)，在使用柯
西不等式时(要注意从整体上把握柯西不等式的结构特征)，准确地构
造公式左侧的两个数组是解决问题的关键．
1．设a，b，c为正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.
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3 / 10 证明：∵? ??
??a2b ＋b2c ＋c2a ()a ＋b ＋c ＝·[()2＋()2＋()2]
≥? ????a b ·b ＋b c ·c ＋c a ·a 2 ＝(a ＋b ＋c)2，
即(a ＋b ＋c)≥(a＋b ＋c)2，
又a ，b ，c∈R＋，
∴a ＋
b ＋c>0，
∴＋＋≥a ＋b ＋c ，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立。
设2x ＋3y ＋5z ＝29，求函数u ＝＋＋ [精讲详析] 本题考查三维柯西不等式的应用，解答本题需要利用好特定条件，设法去掉根号．
根据柯西不等式
120＝3[(2x ＋1)＋(3y ＋4)＋(5z ＋6)]
≥(1×＋1×＋1×)2，
故＋＋≤2.
当且仅当2x ＋1＝3y ＋4＝5z ＋6，
即x ＝，y ＝，z ＝时，等号成立，此时umax ＝2.
利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保
证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．
2．已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求＋＋的最大值．
解：由柯西不等式，得
(＋＋)2
＝(1×＋1×＋1×)2
≤(12＋12＋12)(4a＋1＋4b＋1＋4c＋1)
＝3[4(a＋b＋c)＋3]＝21.
当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．
故＋＋的最大值为.
设f(x)＝lg，若0≤a≤1，n∈N＋且n≥2，求证：f(2x)≥2f(x)．
[精讲详析] 本题考查柯西不等式、综合法、分析法在证明不等式中的应用，解答本题的关键是将f(2x)≥2f(x)具体化，然后再根据式子的结构特点选择合适的证明方法．
∵f(2x)＝lg，
∴要证f(2x)≥2f(x)，
只要证
lg≥
2lg，
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5 / 10 即证12x ＋22x ＋…＋（n －1）2x ＋a·n2x n
≥(*)
也即证n[12x ＋22x ＋…＋(n －1)2x ＋a·n2x]
≥[1x ＋2x ＋…＋(n －1)x ＋a ·nx]2，
∵ 0≤a ≤1，∴a ≥a2，根据柯西不等式得
n[12x ＋22x ＋…＋(n －1)2x ＋a ·n2x]
≥(12＋12＋…＋12),\s\do4(n 个)){(1x)2＋(2x)2＋…＋[(n －
1)x]2＋(a ·nx)2}≥[1x ＋2x ＋…＋(n －1)x ＋a ·nx]2，
即(*)式显然成立，故原不等式成立．
对于较复杂的证明问题，可采用“分析法”进行“抽丝剥茧”，从而找到柯西不等式的结构特征．
3．已知a1，a2，…，an 都是正实数，且a1＋a2＋…＋an ＝1. 求证：,a1＋a2)＋,a2＋a3)＋…＋,an －1＋an)＋,an ＋a1)≥. 证明：根据柯西不等式，得
左边＝,a1＋a2)＋,a2＋a3)＋…＋,an －1＋an)＋,an ＋a1)
＝[(a1＋a2)＋(a2＋a3)＋(a3＋a4)＋…＋(an －1＋an)＋(an ＋a1)]×＋
?
??…＋? ????an －1an －1＋an 2＋? ????an an ＋a12×12 ＝[()2＋()2＋…＋()2
6 / 10 ＋( )2]×???? ????a1a1＋a22＋? ????a2a2＋a32＋…＋? ??
??an －1an －1＋an 2 ＋×1
2
≥???? ????a1＋a2×a1a1＋a2＋? ????a2＋a3×a2a2＋a3＋…＋ ????
????an －1＋an ×an －1an －1＋an ＋? ????an ＋a1×an an ＋a12
×＝(a1＋a2＋…＋an)2×＝＝右边．
∴原不等式成立．
本课时经常考查柯西不等式在证明不等式中的应用．福建高考以解答题的形式考查了柯西不等式在证明不等式中的应用，是高考命题的一个新亮点．
[考题印证]
(福建高考)已知函数f(x)＝m －|x －2|，m∈R，且f(x ＋2)≥0的解集为[－1，1]．
(1)求m 的值；
(2)若a ，b ，c∈R＋，且＋＋＝m ，求证：a ＋2b ＋3c≥9.
[命题立意] 本题考查一般形式的柯西不等式在证明中的应用．
[解] (1)因为f(x ＋2)＝m －|x|，
所以f(x ＋2)≥0等价于|x|≤m，
由|x|≤m 有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．
又f(x ＋2)≥0的解集为[－1，1]，故m ＝1.
7 / 10 (2)证明：由(1)知＋＋＝1又a ，b ，c∈R＋，由柯西不等式得 a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c)≥＝9.
一、选择题
1．已知a ，b ，∈R ＋，且a ＋2b ＝10，则a2＋b2的最小值为
( )
A ．5
B ．10
C ．20
D ．30
解析：选C 根据柯西不等式有(a2＋b2)(1＋22)≥(a＋2b)2＝100. ∴a2＋b2≥20，当且仅当a ＝＝2时取等号．
2．设a1，a2，…，an 为实数，P ＝＋a ＋…＋a,n))，Q ＝，则P 与Q 的大小关系为( )
A ．P>Q
B ．P ≥Q
C ．P<Q
D ．不确定
解析：选B 由柯西不等式知
(a ＋a ＋…＋a)·(1＋1＋…＋1),\s\do4(n
个))12 ≥a1＋a2＋…＋an ，
∴ ＋a ＋…＋a)·≥a1＋a2＋…＋an.
即得 ＋a ＋…＋a,n))≥，∴P≥Q.
3．已知x ，y ，z ∈R ＋且x ＋y ＋z ＝1，则x2＋y2＋z2的最小值是
( )
A ．1 B. C. D ．2
解析：选 B 根据柯西不等式，x2＋y2＋z2＝(12＋12＋12)·(x2
8 / 10 ＋y2＋z2)≥(1×x＋1×y＋1×z)2＝(x ＋y ＋z)2＝.
4．若2a>b>0，则a ＋ 的最小值为( )
A ．1
B ．3
C ．8
D ．12
解析：选B ∵2a>b>0，∴2a－b>0.
∴a ＋＝12??????（2a －b ）＋b ＋8
（2a －b ）·b ≥·3 ＝3.
当且仅当2a －b ＝b ＝，
即a ＝b ＝2时等号成立．∴当a ＝b ＝2时，a ＋ 有最小值3.
二、填空题
5．已知a ＋a ＋…＋a ＝1，x ＋x ＋…＋x ＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn 的最大值为________．
解析：(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2
≤(a ＋a ＋…＋a)(x ＋x ＋…＋x)＝1.
答案：1
6．若a ，b ，c 为正数，则·的最小值为________．
解析：由柯西不等式可知，
? ????a b ＋b c ＋c a ·? ??
??b a ＋c b ＋a c ≥? ??
?? a b ·b a ＋ b c ·c b ＋ c a ·a c 2 ＝32＝9.
答案：9
9 / 10 7．已知x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋y ＋z ＝1，则＋＋的最小值为________．
解析：利用柯西不等式．
由于(x ＋y ＋z)? ????1x ＋4y ＋9z ≥＝36，
所以＋＋≥36.
当且仅当x2＝y2＝z2，即x ＝，y ＝，z ＝时，等号成立．
∴＋＋的最小值为36.
答案：36
8．(湖南高考)已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．
解析：由柯西不等式，得(a2＋4b2＋9c2)·(12＋12＋12)≥(a·1＋2b·1＋3c·1)2＝36，故a2＋4b2＋9c2≥12，从而a2＋4b2＋9c2的最小值为12.
答案：12
三、解答题
9．设a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正数，且a2＋b2＋c2＝25，x2＋y2＋z2＝36，ax ＋by ＋cz ＝30，求的值．
解：由柯西不等式知：
25×36＝(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by ＋cz)2＝302＝
10 / 10 25×36，
当且仅当＝＝＝k 时取“＝”．
所以k2(x2＋y2＋z2)2＝25×36，解得k ＝.
所以＝k ＝.
10．在直线5x ＋3y ＝2上求一点，使(x ＋2y －1)2＋(3x －y ＋3)2取得小值．
解：由柯西不等式得(22＋12)[(x ＋2y －1)2＋(3x －y ＋3)2]≥[2(x＋2y －1)＋(3x －y ＋3)]2＝(5x ＋3y ＋1)2＝9.∴(x＋2y －1)2＋(3x －y ＋3)2≥.
当且仅当x ＋2y －1＝2(3x －y ＋3)
即5x －4y ＋7＝0时取等号．
解方程组得?????x ＝－1335，y ＝97.
故所求点的坐标为.
11．已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝xyz ，且不等式＋＋≤λ恒成立，求λ的取值范围．
解：＋＋≤＋＋＝12? ??
??1× z x ＋y ＋z ＋1× x x ＋y ＋z ＋1× y x ＋y ＋z ≤12????
??（12＋12＋12）? ????z x ＋y ＋z ＋x x ＋y ＋z ＋y x ＋y ＋z 12 ＝，
故λ的取值范围是.
