光学信息技术原理及应用课后重点习题答案
光学信息技术原理与应用 第一章 习题解答
1.1 已知不变线性系统的输入为g x comb x ，系统的传递函数Λ
求系统的输出g x 。并画出输出函数及其频谱的图形。
'
f 。
（1）b . （2）b . ， 若b取
b
答：（1）g x F δ x 图形从略，
（2）g x F δ fx fx fx cos πx 图形从略。 1.2若限带函数f x,y 的傅里叶变换在长度L为宽度W的矩形之外恒为零， （1）如果a
，b ，试证明 LW
x x
sinc sinc f x,y f x,y ab a b
F f x,y rect afx,bfy
证明：
xx f x,y F-1 F f x,y rect afx,bfy sinc sinc f x,y ab a b
（2）如果a
fxfy
F f x,y F f x,y rect LW
， b ，还能得出以上结论吗？ LW
F f x,y rect afx,bfy 。
fxfy
答：不能。因为这时F f x,y rect LW
1.3 对一个空间不变线性系统，脉冲响应为 h x,y sinc x y
试用频域方法对下面每一个输入fi x,y ，求其输出gi x,y 。（必要时，可取合理近似） （1）f x,y cos x
g x,y F F f x,y F h x,y F F cos πx F sin 7x δ y
答：
f
F F cos πx rect x F F cos πx cos πx
（2）f x,y cos πx rect
x rect y
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答：
x y F sin 7x δ y g x,y F F f x,y F h x,y F F cos πx rect rect
（3）
F
F cos πx sinc 75f f x y x sinc fy rect x cos πx rect rect fx,y cos πx rect x
g F cos πx rect x F sin 7x δ y
x,y F
F F cos πx sinc 75f f x δ fy答：
rect x
F
δx fx fx sinc 75fx δ fy
rect fx F f
x
sinc 75fx δ fy rect x F sinc 75fx δ fy rect
（4）f x,y comb x rect x rect y 答：
g x,y F F comb x rect x rect y F sin 7x δ y
F
fx fy comb fx δ fy sinc 2 sinc rect fx
F
δ fx,fy . δ fx ,fy . δ fx ,fy . δ fx ,fy
rect fx F 0.25δ fx,fy . δ fx ,fy . δ fx ,fy . δ fx ,fy . δ fx ,fy
. . cos 2πx . cos 6πx
给定一个不变线性系统，输入函数为有限延伸的三角波 g
x i x comb x rect
Λ x
对下述传递函数利用图解方法确定系统的输出。 （1）H f rect
f
（2）H f rect
f rect f
答：图解方法是在频域里进行的，首先要计算输入函数的频谱，并绘成图形
1.4
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1x
G(f) F gi(x) F comb() F
3 3
comb(3f) 50sinc(50f) sinc2f
方括号内函数频谱图形为：
x rect() (x) 50
图1.4（1）
sinc2f图形为：
图 1.4（2）
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因为sincf的分辨力太低，上面两个图纵坐标的单位相差50倍。两者相乘时忽略中心五个分量以外的其他分量，因为此时sincf的最大值小于0.04%。故图解G(f)频谱结果为：
2
2
图 1.4（3）
传递函数（1）形为：
图 1.4（4）
因为近似后的输入函数频谱与该传递函数相乘后，保持不变，得到输出函数频谱表达式为：
11 22
(f) 0.685 (f ) (f ) 50sinc(50f) 0.171 (f ) (f )
33 33
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其反变换，即输出函数为：
x2 x
1 1.37cos2 0.342cos2 xrect() 3350
该函数为限制在 25,25 区间内，平均值为1，周期为3，振幅为1.37的一个余弦函数与周期为1.5，振幅为0.342的另一个余弦函数的叠加。 传递函数（2）形为：
f
图 1.4（5）
此时，输出函数仅剩下在 2, 1 及 1,2 两个区间内分量，尽管在这两个区间内输入函数的频谱很小，相对于传递函数（2）在 1,1 的零值也是不能忽略的，由于
4
sinc2() 0.043
35
sinc2() 0.027
3
可以解得，通过传递函数（2）得到的输出函数为：
45 x
0.043cos2 x 0.027cos2 xrect() 3350
该函数依然限制在 25,25 区间内，但其平均值为零，是振幅为0.043，周期为0.75，的一个余弦函数与振幅为0.027，周期为0.6的另一个余弦函数的叠加。
1.5 若对二维函数
h x,y asinc ax
抽样，求允许的最大抽样间隔并对具体抽样方法进行说明。
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答： F h x,y Fasinc ax Λ
fx
δ fy a
X
Bx a
;Y
也就是说，在X方向允许的最大抽样间隔小于1/2a，在y方向抽样间隔无限制。
1.6 若只能用a b表示的有限区域上的脉冲点阵对函数进行抽样，即 gs x,y g x,y comb
x y x y
comb rect rect X Y a b
试说明，即使采用奈魁斯特间隔抽样，也不能用一个理想低通滤波器精确恢复g x,y 。 答：因为a b表示的有限区域以外的函数抽样对精确恢复g x,y 也有贡献，不可省略。
第二章 习题解答
2.1 一列波长为 的单位振幅平面光波，波矢量k与x轴的夹角为45，与y轴夹角为60，试写出其空间频
率及z z1平面上的复振幅表达式。 答：fx
2.2 尺寸为a×b的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明，求出紧靠屏后的平面上的透射光场的角
谱。 答：U x,y rect
2.3 波长为 的单位振幅平面波垂直入射到一孔径平面上，在孔径平面上有一个足够大的模板，其振幅透过率
为tx . cos答:：
2 2 jkz expjπ2x y U 0,0,0 , fy , U x,y,z1 exp1 2λ 2 λ 2λ
x rect y ，A cosαcosβ absinc acosα sinc bcosβ ，
λ λ λ λ a b
πx0
，求紧靠孔径透射场的角谱。 λ
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cosαcosβ cosαcosβ . 3λδ λcosα λδ λcosα δ cosβ A . δ
λ λ λλ λ λ λ
cosαcosβ cosα cosα . δ δ . δ
λ λ λλ λ λ
δ cosβ
λ
2.4 参看图2.13，边长为 a的正方形孔径内再放置一个边长为a的正方形掩模，其中心落在 , 点。采用单
位振幅的单色平面波垂直照明，求出与它相距为z的观察平面上夫琅和费衍射图样的光场分布。画出
时，孔径频谱在x方向上的截面图。
图2.4题
x y x ξ y η 答：t x ,y rect rect rect rect
aa a a
Ftx ,y asinc 2afx sinc2afy asinc afx sincafyexp-j2πafx fy
U x,y
k
exp jkz exp j x y jλz 2z
2ax sinc 2ay a sinc ax sinc ay exp -j2πa x y asinc λzλzλzλzλzλz
x y x y xy I x,y 2 a sinc 2a sinc 2a asinc a sinc a exp -j2πa λz λz λz λz λz λzλz
2.5 图2-14所示的孔径由两个相同的矩形组成，它们的宽度为a，长度为b，中心相距为d。采用单位振幅
的单色平面波垂直照明，求与它相距为z的观察平面上夫琅和费衍射图样的强度分布。假定b a及
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d . a，画出沿x和y方向上强度分布的截面图。如果对其中一个矩形引入位相差 ，上述结果有何
变化？
图 题2.5 （1）
答：如图所示，双缝的振幅透射率是两个中心在(0,
dd
)及(0, )的矩形孔径振幅透射率之和： 22
ddx0 x0
y) rect(y0)rect() （1） t(x0,y0) rect(0)rect(abab
由于是单位振幅平面波垂直照明，孔径平面上入射光场
U0(x0,y0) 1 ，
透射光场
U(x0,y0) U0(x0,y0) t(x0,y0) rect(
x0
)rect(a
y0
dd
y0
) rect(x0)rect() （2） bab
由夫琅和费衍射方程，在夫琅和费区中离孔径距离z的观察平面上得到夫琅和费衍射图样U(x,y)，它正比于孔径上场分布的傅立叶变换式（频率坐标fx
x
z
,fy
y
z
），即
k
exp(jkz)exp j(x2 y2)
2z FU(x,y) （3）
U(x,y) 00
j z
利用傅立叶变换的相移定理，得到
d d y y 00 x0x0) F U(x0,y0) F rect()rect() F rect()rect(
abab
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absinc(afx)sinc(bfy) [exp( j fyd) exp(j fyd)]
2absinc(把它带入（3）式，则有
axby dy)sinc() cos() z z z
k
exp(jkz)exp j(x2 y2)
2z 2absinc(ax)sinc(by) cos( dy)
U(x,y)
j z z z z
强度分布
2ab 2 axI(x,y) sinc
z z
2
2 bysinc
z 2 dy cos
z
不难看出，这一强度分布是矩孔径衍射图样和双光束干涉图样相互调制的结果。
双缝的振幅透射率也可以写成下述形式：
d d x y
t(x0,y0) rect 1 rect 1 x0,y0 x0,y0 （4）
2 2 a b
它和（1）式本质上是相同的。由（4）式可以利用卷积定理直接求出其傅立叶变换式，导出与上述同样的结果。代入所给条件b=4a,d=1.5a
8a2 2 axI(x,y) sinc z z
沿x轴，此时fy 0
2 4ay 2 1.5 ay sinccos
z z
I(fx,fy) 8a2sinc2 afx
中心光强：I(0,0)=8a2 极小值位置为：fx
n
a
(n 1, 2, )
x方向上强度分布的截面图示意如下：
图 题2.5 （2）
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沿y轴： 此时fx 0，故
I(fx,fy) 8a2sinc(4afy)2cos2 1.5 afy
中心光强：I(0,0)=8a2 极小值位置：fy
n4a
及fy
1 2n3a
(n 1, 2, )
y方向上强度分布的截面图示意如下：
图 题2.5 （3）
d d x y
t(x0,y0) rect 0 rect 0 x0,y0 exp j x0,y0
2 2 a b
d d x y
rect 0 rect 0 x0,y0 exp j x0,y0
ab22 d
y 1 x1
rect rect
a b
d y 1 x1
exp j rect rect
a b
由于是单位振幅平面波垂直照明，孔径平面上入射光场
U0(x1,y1) 1 ，
透射光场,b=4a,d=1.5a时
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U(x1,y1) U0(x1,y1) t(x1,y1)
d d
y y 1 1 x1 x1
（2） rect rect exp j rect rect
abab
x y 0.75a x1 y1 0.75a rect 1 rect 1exp j rectrect
4a4a a a
由夫琅和费衍射方程，在夫琅和费区中离孔径距离z的观察平面上得到夫琅和费衍射图样U(x,y)，它正比于孔径上场分布的傅立叶变换式（频率坐标fx
x
z
,fy
y
z
），即
k
exp(jkz)exp j(x2 y2)
2z FU(x,y) （3）
U(x,y) 00
j z
利用傅立叶变换的相移定理，得到
x y 0.75a x0 y0 0.75a
F U(x0,y0) F rect 0 rect 0exp j Frectrect
a4aa4a
22
8asinc(af)sinc(4af)exp( 1.5j f)exp j 8asinc(afx)sinc(4afy)exp(1.5j fy) xyy
8a2sinc(afx)sinc(4afy) exp( 1.5j fy j ) exp(1.5j fy)
把它带入（3）式，则有
k
exp(jkz)exp j(x2 y2)
2z 8a2sinc(af)sinc(4af)U(x,y) xyj z exp( 1.5j fy j ) exp(1.5j fy)
k
exp(jkz)exp j(x2 y2)
2z 8a2sinc(ax)sinc(4ay)
j z z z 1.5j y1.5j yj j j
exp exp( ) exp( )
2 z2 z2
k
exp(jkz)exp j(x2 y2)
2z 8a2sinc(ax)sinc(4ay)
j z z z 1.5 y j
exp cos
2 2 z
强度分布
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8a2 2 axI(x,y) sinc
z z 8a 2 ax sinc
z z
2
2
2
2 4ay 2 1.5 ysinccos
2 z z
2 4ay 2 1.5 y sincsin
z z
2.6 试证明如下列阵定理：假设在衍射屏上有N个形状和方位都相同的全等形开孔，在每一个开孔内取一个
相对开孔来讲方位一样的点代表孔的位置，那末该衍射屏生成的夫琅和费衍射场是下列两个因子的乘积：（1）置于原点的一个孔径的夫琅和费衍射（该衍射屏的原点处不一定有开孔）；（2）N个处于代表孔位置的点上的点光源在观察面上的干涉。
证明：假设置于原点的一个孔径表示为t x ,y ，N个处于代表孔位置的点上的点光源表示为
δ x x,y y ，则衍射屏的透过率可表示为
N
i
i
tx ,y t x ,y 其傅里叶变换可表示为
Ftx ,y Ft x ,y F
δ x x,y y ，
N
i
i
δ x x,y y ，
N
i
i
该式右边第一项对应于置于原点的一个孔径的夫琅和费衍射，第二项对应于N个处于代表孔位置的点上的点光源在观察面上的干涉，因此该衍射屏生成的夫琅和费衍射场是这两个因子的乘积。
2.7 一个衍射屏具有下述圆对称振幅透过率函数为 t r （1）这个屏的作用在什么方面像一个透镜？ （2）给出此屏的焦距表达式。
（3）什么特性会严重的限制这种屏用做成像装置（特别是对于彩色物体）？ 答：（1）解
衍射屏的复振幅投射率如图所示，也可以把它表示为直角坐标的形式：
r
cosar circ a
1122 t(x,y) cos[ (x y)] circ 22
（1）
1 112222 exp[ j (x y)] exp[j (x y)] circ4 24
（1）式大括号中第一项仅仅是使直接透射光振幅衰减，其他两项指数项与透镜位相变换因子
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kexp j(x2 y2) 比较，可见形式相同。当平面波垂直照射时，这两项的作用是分别产生会聚球面波和发
2f
散球面波。因此在成像性质和傅立叶变换性质上该衍射屏都有些类似与透镜，因子circ
具有半径为l的圆形孔径。 （2）解
把衍射屏复振幅透射率中的复指数项与透镜位相变换因子相比较，得到相应的焦距，对于项，令
表明该屏
1
exp[ j (x2 y2)]4
k
，则有 2f1
f1
k
2
k1
，则有 exp[j (x2 y2)]项，令 2f24
焦距f1为正，其作用相当于会聚透镜，对于 f1
k
2
1
”这一项来说，平行光波直接透过，仅振幅衰减，可看作是 2
焦距f2为负，其作用相当于发散透镜，对于“ f3
（3）由于该衍射屏有三重焦距，用作成像装置时，对同一物体它可以形成三个像，例如对于无穷远的点光源，分别在屏两侧对称位置形成实像和虚像，另一个像在无穷远（直接透射光）（参看图4.12）。当观察者观察其中一个像时，同时会看到另外的离焦像，无法分离开。如用接收屏接收，在任何一个像面上都会有其它的离焦像形成的背景干扰。除此以外，对于多色物体来说，严重的色差也是一个重要的限制。因为焦距都与波长 成反比。例如取 red 6900A， blue 4000A，则有 fred
。
。
4000
fblue 0.57fblue 6900
这样大的色差是无法用作成像装置的，若采用白光作光源，在像面上可以看到严重的色散现象。 这种衍射屏实际就是同轴形式的点源全息图，即伽柏全息图。
2.8 用波长为 6328A的平面光波垂直照明半径为2mm的衍射孔，若观察范围是与衍射孔共轴，半径为
30mm的圆域，试求菲涅耳衍射和夫琅和费衍射的范围。
答：由式(2.55)z
1π 22
L L )及式(2-57)z k(x0 y0)有菲涅耳衍射和夫琅和费衍射分别要求
2 λ
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z
π
. mm L L )即z
. λ
z kx y
π
. mm
.
2.9 单位振幅的单色平面波垂直入射到一半径为a的圆形孔径上，试求菲涅耳衍射图样在轴上的强度分布。 答：圆形孔径的透过率可表示为
x y
t x ,y circ
a
根据式(2.53)有
x y
U x ,y circ
a
x y exp jkz k
U x,y exp j x y circ jλza z
π k dxdy exp j x y exp jxx yy λz z
轴上的振幅分布为
x y exp jkz exp jk x y dxdyU , ,z circ jλz a z
πa
exp jkz jkr rdrdθ exp jkz exp jka exp jλz z z
轴上的强度分布为
k ka U , ,z exp jkz exp ja cos z z
k
sin a
z
2.10 余弦型振幅光栅的复振幅透过率为 tx a bcos π
2
x d
z zT 式中，观察平面与光栅相距z。当z分别取下列各数值：（1）d为光栅周期，a b ，a b 。
d
；
zTd zTd
（2）z ；（3）z （式中zT称作泰伯距离）时，确定单色平面波垂直照明光栅，在观察
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平面上产生的强度分布。
答：根据式(2.31)单色平面波垂直照明下余弦型振幅光栅的复振幅分布为 Ux ,y a bcos π强度分布为
x d
x
I x ,y a bcos π
d
角谱为
x
A fx,fy a bcos π
d
exp j π xf yf dxdy x y
b
aδ fx,fy δ f ,f δf ,fy x xy
dd
传播距离z后，根据式(2.40)得到角谱
A fx,fy,z A fx,fy expjkz λfx λfy
b
aδf,f δf ,f δf ,fy expjkz λfx λfy xyxyx dd
b λ aδ fx,fy exp jkz δ fx ,fy δ fx ,fy exp jkz 2 dd d
利用二项式近似有
λ λ jπzλ exp jkz exp jkz expjkzexp d dd
故
b πzλ
A(fx,fy,z) exp jkz aδf,f δf ,f δf ,fy exp j xyxyx 2ddd
（1）z zT
d
时
πd b
A(fx,fy,z) exp j aδf,f δf ,f δf ,fy xyxyx
λ2dd
与A fx,fy仅相差一个常数位相因子，因而观察平面上产生的强度分布与单色平面波垂直照明下刚刚透过余弦型振幅光栅产生的强度分布完全相同。
zTd
（2）z 时
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πd b δ f ,f A(fx,fy,z) exp j aδf,f δf ,f x xxyy y 2 dd λ
对应复振幅分布为
x d x
U x,y a bcos π a bcos2π
dd
因而观察平面上产生的强度分布为平移半个周期的单色平面波垂直照明下刚刚透过余弦型振幅光栅产生的强度分布。
zTd
（3）z
b π
A(fx,fy,z) exp jkz aδf,f δf ,f δf ,fy exp j x xxyy 2 dd
对应复振幅分布为
Ux,y exp jkz a jbcos π强度分布为
Ix,y a b cos2
x
d
x
d
第三章 习题解答
3.1 参看图3.5，在推导相干成像系统点扩散函数（3.35）式时，对于积分号前的相位因子
k k22 exp j(x0 y0) exp j
2d 0 2d0
试问
xi2 yi2
M2
（1）物平面上半径多大时，相位因子
k22 exp j(x0 y0)
2d0
相对于它在原点之值正好改变π弧度？
（2）设光瞳函数是一个半径为a的圆，那么在物平面上相应h的第一个零点的半径是多少？
（3）由这些结果，设观察是在透镜光轴附近进行，那么a，λ和do之间存在什么关系时可以弃去相位因子
