数学高考知识点总结整理（详细篇）
高中数学第一章-集合 考试内容：
集合、子集、补集、交集、并集．
逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件． 考试要求：
（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．
（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．
§01. 集合与简易逻辑 知识要点
一、知识结构:
本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：
二、知识回顾：
（一） 集合
1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质：
①任何一个集合是它本身的子集，记为A A； ②空集是任何集合的子集，记为 A； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果A B，同时B A，那么A = B. 如果A B，B C，那么A C.
[注]：①Z= {整数}（√） Z ={全体整数} （³）
②已知集合S 中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.（³）（例：S=N； A=N ，则CsA= {0}） ③ 空集的补集是全集.
④若集合A=集合B，则CBA = ， CAB = CS（CAB）= D （ 注 ：CAB = ）. 3. ①{（x，y）|xy =0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集. ②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R
二、四象限的点集.
③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例：
x y 3
解的集合{(2，1)}.
2x 3y 1
2
②点集与数集的交集是 . （例：A ={(x，y)| y =x+1} B={y|y =x+1} 则A∩B = ）
4. ①n个元素的子集有2个. ②n个元素的真子集有2 －1个. ③n个元素的非空真子集有2－2个.
5. ①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题 逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题 逆否命题. 例：①若a b 5，则a 2或b 3应是真命题.
解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真. ②
x 1且y 2 y 3. 解：逆否：x + y =3
x 1且y 2
n
n
n
x = 1或y = 2.
x y 3,故x y 3是x 1且y 2的既不是充分，又不是必要条件.
小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 3. 例：若x 5， x 5或x 2. 4. 集合运算：交、并、补.
交：A B {x|x A,且x B}并：A B {x|x A或x B} 补：CUA {x U,且x A}
5. 主要性质和运算律 （1） 包含关系：
A A, A,A U,CUA U,
A B,B C A C;A B A,A B B;A B A,A B B.
（2） 等价关系：A B A B A A B B CUA B U （3） 集合的运算律：
交换律：A B B A;A B B A.
结合律:(A B) C A (B C);(A B) C A (B C) 分配律:.A (B C) (A B) (A C);A (B C) (A B) (A C) 0-1律： A , A A,U A A,U A U 等幂律：A A A,A A A.
求补律：A∩CUA=φ A∪CUA=U CUU=φ CUφ=U
反演律：CU(A∩B)= (CUA)∪(CUB) CU(A∪B)= (CUA)∩(CUB)
6. 有限集的元素个数
定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0.
基本公式：
(1)card(A B) card(A) card(B) card(A B)(2)card(A B C) card(A) card(B) card(C)
card(A B) card(B C) card(C A) card(A B C)
(3) card( UA)= card(U)- card(A)
(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法
根轴法（零点分段法）
①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2) (x-xm)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便) ②求根，并在数轴上表示出来；
③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；
④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.
x
（自右向左正负相间） 则不等式a0x a1x
n
n 1
a2xn 2 an 0( 0)(a0 0)的解可以根据各区间的符号确定.
特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；
2
2.分式不等式的解法 （1）标准化：移项通分化为
f(x)f(x)f(x)f(x)
>0(或<0)； ≥0(或≤0)的形式， g(x)g(x)g(x)g(x)
（2）转化为整式不等式（组）3.含绝对值不等式的解法
f(x)f(x)f(x)g(x) 0
0 f(x)g(x) 0; 0 g(x) 0
g(x)g(x)
（1）公式法：ax b c,与ax b c(c 0)型的不等式的解法.
（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.
（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 4.一元二次方程根的分布
2
一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)
（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.
（2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之. （三）简易逻辑
1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。 2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。
构成复合命题的形式：p或q(记作“p∨q” )；p且q(记作“p∧q” )；非p(记作“┑q” ) 。 3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断
互逆原命题逆命题
（1）“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反； 若p则q若q则p
（2）“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，逆
互
其他情况时为假； 否否（3）“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，逆否命题否命题其他情况时为真．
若┐q则┐p若┐p则┐q互
4、四种命题的形式：
原命题：若P则q； 逆命题：若q则p；
否命题：若┑P则┑q；逆否命题：若┑q则┑p。
(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题； (2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题． 5、四种命题之间的相互关系：
一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题 逆否命题) ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。
6、如果已知p q那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。 若p q且q p,则称p是q的充要条件，记为p q.
7、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理 )矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
高中数学第二章-函数
考试内容：
映射、函数、函数的单调性、奇偶性． 反函数．互为反函数的函数图像间的关系．
指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数． 对数．对数的运算性质．对数函数． 函数的应用． 考试要求：
（1）了解映射的概念，理解函数的概念．
（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法． （3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数．
（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像 和性质． （5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质． （6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．
§02. 函数 知识要点
一、本章知识网络结构：
F:A B
二次函数
二、知识回顾： （一） 映射与函数 1. 映射与一一映射
2.函数
函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. 3.反函数
反函数的定义
设函数
y f(x)(x A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到
x= (y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= (y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= (y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x= (y) (y C)叫做函数的反函数，记作x（二）函数的性质 ⒈函数的单调性
定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2, 若当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2),则说f(x)在这个区间上是增函数； 若当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2),则说f(x) 在这个区间上是减函数.
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. 2.函数的奇偶性
y f(x)(x A)
f
1
(y),习惯上改写成y f 1(x)
正确理解奇、偶函数的定义。必须把握好两个问题：（1）定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件；（2）f( x) f(x)或f( x) f(x)是定义域上的恒等式。
2．奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。反之亦真，因此，也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。 3.奇函数在对称区间同增同减；偶函数在对称区间增减性相反. 4．如果f(x)是偶函数，则f(x) f(|x|)，反之亦成立。若奇函数在x 0时有意义，则f(0) 0。
7. 奇函数，偶函数： 偶函数：f( x) f(x)
设（a,b）为偶函数上一点，则（ a,b）也是图象上一点. 偶函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于y轴对称，例如：y x2 1在[1, 1)上不是偶函数.
②满足f( x) f(x)，或f( x) f(x) 0，若f(x) 0时， 奇函数：f( x) f(x)
f(x)
1. f( x)
设（a,b）为奇函数上一点，则（ a, b）也是图象上一点. 奇函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于原点对称，例如：y x3在[1, 1)上不是奇函数. ②满足f( x) f(x)，或f( x) f(x) 0，若f(x) 0时，
y轴对称
8. 对称变换：①y = f（x） y f（ x）
f(x)
1. f( x)
x轴对称
②y =f（x） y f（x）
y f（ x）③y =f（x） 原点对称
9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：
(x1 x2) f(x) f(x) x2 b2 x2 b2 （x1 x2）
1212
22 xx b2 x1 b2
在进行讨论.
10. 外层函数的定义域是内层函数的值域. 例如：已知函数f（x）= 1+
x
的定义域为A，函数f[f（x）]的定义域是B，则集合A与集合B之间1 x
B A的关系是 .
解：f(x)的值域是f(f(x))的定义域B，f(x)的值域 R，故B R，而A x|x 1 ，故B A.
11. 常用变换：
①f(x y) f(x)f(y) f(x y) 证：f(x y)
xy
f(x)
. f(y)
f(y)
f(x) f[(x y) y] f(x y)f(y) f(x)
②f() f(x) f(y) f(x y) f(x) f(y) 证：f(x) f( y) f() f(y) 12. 熟悉常用函数图象：
1
例：y 2→|x|关于y轴对称. y
2
|x|
xyxy
|x 2|
1 1 →y →y
2 2
|x||x 2|
y |2x 2x 1|→|y|关于x轴对称.
2
熟悉分式图象： 例：y
2x 17
2 定义域{x|x 3,x R}， x 3x 3
值域{y|y 2,y R}→值域 x前的系数之比. （三）指数函数与对数函数
指数函数y ax(a 0且a 1)的图象和性质
对数函数y=logax的图象和性质: 对数运算：
loga(M N)
Mloga log
NlogaMn nloga1M
nM 0,N 0,a 0,a 1,b 0,b 1,c 0,c 1,a1,a2...an 0且 1）aloga
N
N
换底公式：lo
推论：logab
loga1a2 l
（以上
注 ：当
a,b 0
时，
loga( b) log (a
. ：当
M 0
时，取“+”，当n
是偶数时且M 0时，Mn 0，而M 0，故取“—”.
2
例如：logax 2logax (2logax中x＞0而logax2中x∈R）.
y ax（a 0,a 1）与y logax互为反函数.
当a 1时，y logax的a值越大，越靠近x轴；当0 a 1时，则相反.
（四）方法总结
.相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同. 对数运算：
loga(M N) logaM logaN(1)loga
M
logaM logaNN
1
logaMn
logaMn nloga M 12)logaM aloga
N
N
logbNlogba
换底公式：logaN
推论：logab logbc logca 1
loga1a2 loga2a3 ... logan 1an loga1an
（以上M 0,N 0,a 0,a 1,b 0,b 1,c 0,c 1,a1,a2...an 0且 1）
注 ：当a,b 0时，log(a b) log( a) log( b).
：当M 0时，取“+”，当n是偶数时且M 0时，Mn 0，而M 0，故取“—”. 例如：logax2 2logax (2logax中x＞0而logax2中x∈R）. y ax（a 0,a 1）与y logax互为反函数.
当a 1时，y logax的a值越大，越靠近x轴；当0 a 1时，则相反.
.函数表达式的求法：①定义法；②换元法；③待定系数法.
.反函数的求法：先解x,互换x、y，注明反函数的定义域(即原函数的值域).
.函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.
.函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法.
.单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较.
.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)/f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数.
.图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.
高中数学 第三章 数列 考试内容： 数列．
等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式． 等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式． 考试要求：
（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．
（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题． （3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题． §03. 数 列 知识要点
等差数列的定义 等差数列的通项 等差数列的性质 等差数列的前 n 项和 等比数列
等比数列的定义 等比数列的通项 等比数列的性质 等比数列的前 n 项和
等差数列
1. 等差、等比数列： 等差数列 定义 递推公 式 通项公 式 中项a n 1 a n d a n a n 1 d ; a n a m n md a n a1 (n 1)d
等比数列a n 1 q(q 0) an
a n a n 1q ; a n a m q n ma n a1 q n 1 ( a1 , q 0 )G a n k a n k (a n k a n k 0)
A
a n k a n k 2
( n, k N * , n k 0 ) 前 n 项 和Sn n (a1 a n ) 2
( n, k N * , n k 0 ) na1 (q 1) S n a1 1 q n a a q 1 n (q 2) 1 q 1 q
n(n 1) S n na1 d 2
重要性 质
am an a p aq (m, n, p, q N * , m n p q)
am an a p aq (m, n, p, q N * , m n p q)
等差数列 定义
等比数列
{an }为A P an 1 an d (常数)
{a n }为G P
a n 1 an
q(常数)
通项公 式
a n = a1 + ( n-1 ) d= a k + ( n-k )
a n a1 q n 1 a k q n k
看数列是不是等差数列有以下三种方法： ①an an 1 d(n 2,d为常数) ②2an an 1 an 1(n 2) ③an kn b(n,k为常数).
看数列是不是等比数列有以下四种方法： ①an an 1q(n 2,q为常数,且 0)
2
an 1 an 1(n 2，anan 1an 1 0)②an
①
注①：i. b ac，是a、b、c成等比的双非条件，即b acii. b ac（ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要. iii. b ac→为a、b、c等比数列的必要不充分. iv. b ac且ac 0→为a、b、c等比数列的充要.
注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个.
、b、c等比数列.
③an cqn(c,q为非零常数).
④正数列{an}成等比的充要条件是数列{logxan}（x 1）成等比数列.
s1 a1(n 1)a 数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系：n
sn sn 1(n 2)
[注]： ①an a1 n 1 d nd a1 d （d可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若d不为0，则是等差数列充分条件）. ②等差{an}前n项和Sn An2 Bn n2 a1 n →
d 2
d 2
d
可以为零也可不为零→为等差的充要条件→2
若d为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件. ③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列） ．．
2. ①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k倍Sk,S2k Sk,S3k S2k...； ②若等差数列的项数为2nn N ，则S偶 S奇
2
ndS奇S偶
an
an 1
；
n n 1
③若等差数列的项数为2n 1n N ，则S2n 1 2n 1 an，且S奇 S偶 an，S奇 代入n到2n 1得到所求项数. 3. 常用公式：①1+2+3 +n =②12 22 32 n2
n n 1 2
S偶
n n 1 2n 1
6
2
n n 1
③13 23 33 n3
2
[注]：熟悉常用通项：9，99，999， an 10n 1； 5，55，555， an
5n
10 1. 9
4. 等比数列的前n项和公式的常见应用题： 生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a，年增长率为r，则每年的产量成等比数列，公比为1 r. 其中第n年产量为a(1 r)n 1，且过n年后总产量为：
2
n 1
a a(1 r) a(1 r) ... a(1 r)
a[a (1 r)n]
.
1 (1 r)
银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a元，利息为r，每月利息按复利计算，则每月的a元过n个月后便成为a(1 r)n元. 因此，第二年年初可存款：
12
11
10
a(1 r) a(1 r) a(1 r)
a(1 r)[1 (1 r)12]
... a(1 r)=.
1 (1 r)
分期付款应用题：a为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；r为年利率.
a 1 r x 1 r
m
m 1
x 1 r
m 2
......x 1 r x a 1 r
m
x 1 r m 1ar 1 r m
x mr1 r 1
5. 数列常见的几种形式：
an 2 pan 1 qan（p、q为二阶常数） 用特证根方法求解.
具体步骤：①写出特征方程x2 Px q（x2对应an 2，x对应an 1），并设二根x1,x2②若x1 x2可设
nn
an. c1xn1 c2x2，若x1 x2可设an (c1 c2n)x1；③由初始值a1,a2确定c1,c2.
an Pan 1 r（P、r为常数） 用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n转化为
an 2 Pan 1 qan的形式，再用特征根方法求an；④an c1 c2Pn 1（公式法），c1,c2由a1,a2确定.
①转化等差，等比：an 1 x P(an x) an 1 Pan Px x x ②选代法：an Pan 1 r P(Pan 2 r) r an (a1
Pn 1a1 Pn 2 r Pr r.
r
. P 1
rr)Pn 1 (a1 x)Pn 1 x P 1P 1
③用特征方程求解：
an 1 Pan r
an 1 an Pan Pan 1 an 1 （P 1）an Pan 1. 相减，
an Pan 1 r
④由选代法推导结果：c1
rrrr
. ，c2 a1 ，an c2Pn 1 c1 （a1 ）Pn 1
1 PP 1P 11 P
6. 几种常见的数列的思想方法：
等差数列的前n项和为Sn，在d 0时，有最大值. 如何确定使Sn取最大值时的n值，有两种方法： 一是求使an 0,an 1 0，成立的n值；二是由Sn
d2d
n (a1 )n利用二次函数的性质求n的值. 22
如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依照等比数列前111
n项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：1 ,3,...(2n 1)n,...
242
两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，
公差是两个数列公差d1，d2的最小公倍数.
2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证
an an 1(
an
)为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证an 1
2
2an 1 an an 2(an 1 anan 2)n N都成立。
3. 在等差数列｛an｝中,有关Sn 的最值问题：(1)当a1>0,d<0时，满足
am 0
的项数m使得sm取最
am 1 0
大值. (2)当a1<0,d>0时，满足
am 0
的项数m使得sm取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,
am 1 0
注意转化思想的应用。
（三）、数列求和的常用方法
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
c
2.裂项相消法:适用于 其中{ an}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、
anan 1
含阶乘的数列等。
3.错位相减法:适用于 anbn 其中{ an}是等差数列， bn 是各项不为0的等比数列。 4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.
5.常用结论
1）: 1+2+3+...+n =
n(n 1)
2
2
2） 1+3+5+...+(2n-1) =n
1
3）1 2 n n(n 1)
2
3
3
3
2
4） 1 2 3 n
5）
2222
1
n(n 1)(2n 1) 6
1111111
( )
n(n 1)nn 1n(n 2)2nn 21111
( )(p q) pqq ppq
高中数学第四章-三角函数
6）
考试内容：
角的概念的推广．弧度制．
任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式． 两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．
正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ)的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角．
正弦定理．余弦定理．斜三角形解法． 考试要求：
（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算．
（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义．
（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式． （4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．
（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数
