高考理科数学一轮复习
高考理科数学一轮复习
考 点 串 串 讲 1.随机事件 (1)对于随机事件，知道它发生的可能性大小是非常重要的，要 了解随机事件发生的可能性大小最直接的方法就是试验. 一个试验如果满足下述条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行； ②试验的所有结果是明确可知的，但不止一个； ③每次试验总是出现在这些结果中的一个，但在一次试验之前 却不能确定这次试验会出现哪一个结果. 像这样的试验是一个随机试验. (2)一般来说，随机事件 A 在每次试验中是否发生是不能预知 的，但是在大量的重复试验中，随着试验次数的增加，事件 A 发生 的频率会逐渐稳定在区间[0,1]中的某个常数上，这个常数可以用来 度量事件 A 发生的可能性的大小，定义为概率.
高考理科数学一轮复习
2.概率 (1)频率与概率 频率与概率的关系：随机事件的频率，指此事件发生的次数与 试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总是在某个常数附近摆 动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小.我们给 这个常数取一个名字，叫做这个随机事件的概率. 概率可看作频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事 件发生的可能性的大小.频率在大量重复试验的前提下近似地作为 这个事件的概率.
高考理科数学一轮复习
正确理解频率与概率 频率 概率 随机事件 A 在 n 次反复试验 随机事件 A 发生可能性 概念的 m 中发生了 m 次称 为事件 A 大小的度量(数值)称 A n 理解 发生的概率，记作 P(A) 的频率 (1)频 率 随 着 试 验 次 数 的 改 (1)概率是一个常数，是 变而改变， 即频率是随机的， 客观存在的，与试验次 在 试 验 前 是 不 确 定 的 (2)在 数无关，是随机事件自 区别与 相同条件下，随着试验次数 身的一个属性 联系 的增加，随机事件发生的频 (2) 当 试 验 次 数 越 来 越 率会在某个常数附近摆动并 多时频率向概率靠近， 趋于稳定，所以可用频率作 概率是频率的稳定值 为概率的近似值(估计值)
高考理科数学一轮复习
(2)概率的正确理解 如同木棒有长度，土地有面积一样，概率是随机事件发生的可 能性大小的度量，它反映了随机事件发生可能性的大小. 随机事件在一次试验中发生与否是随机中含有规律性.认识了 这种随机中的规律性，就能使我们比较准确地预测随机事件发生的 可能性. (3)概率与生活 比赛中发球权的裁决、重大决策的选择、天气预报的预测、各 种试验结果的统计等等，都涉及概率方面的知识，利用概率的统计 与总结，可使事情达到事半功倍的效果.
高考理科数学一轮复习
(4)似然法 如果我们的判断结论能够使得样本出现的可能性最大，那么判 断正确的可能性也最大，这种判断问题的方法称为似然法.似然法 是统计中最重要的统计思
想方法之一. 如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任 务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，这 种判断问题的方法称为极大似然法，极大似然法是统计中最重要的 统计思想方法之一.
高考理科数学一轮复习
(5)概率的统计定义 m 一般地，在大量重复进行同一试验时，事件 A 发生的概率 总 n 是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件 A 的概率，记作 P(A). 点拨：①概率的本质：反映了事件的可能性大小，不能说明一 定发生什么或一定不发生什么. ②由概率和统计性定义来求一个随机事件的概率，必须注意重 复试验的次数要足够大，且频率值趋于稳定在某个常数附近，才能 把这个常数称为这个事件的概率(近似值), 事实上这个过程工作量是 很大的，需要进行大量的重复试验与统计.
高考理科数学一轮复习
(6)对概率统计定义的理解 ①概率是一门研究现实世界中广泛存在的随机现象的科学，正 确理解概率的意义是认识、理解现实生活中有关概率的实例的关 键.学习过程中应用意识形成概率意识，并用这种意识来理解现实 世界. ②概率的统计定义给出了求一个事件的概率的基本方法，概率 是可以通过频率来“测量”的，或者说频率是概率的一个近似值. ③概率的值越接近 1 表明事件发生的可能性越大，反过来值越 接近 0,则事件发生的可能性越小. 应特别注意概率的取值范围是 0≤P(A)≤1. ④通过对概率定义的正确理解，借助现实生活中“游戏的公平 性”、“决策中的概率思想”、“天气预报的概率解释”、“试验 与发现”、“遗传机理中的统计规律”等实例进一步准确理解概率 的意义.
高考理科数学一轮复习
3.事件与集合的关系 (1)包含事件. 如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时我们就说事件 B 包 含事件 A,记作 B A(A B). ①与集合比，B 包含 A,如图所示.
②不可能事件记作 ,显然 C (C 为任一事件). ③事件 A 也包含于事件 A,即 A A. 例如： 在投掷骰子的试验中， {出现 1 点} {出现的点数为奇数}.
高考理科数学一轮复习
(2)相等事件. 如果 B A,且 A B,那么称事件 A 与事件 B 相等，记作 A =B. ①两个相等的事件 A、B 总是同时发生或同时不发生. ②所谓 A=B,就是 A、B 是同一个事件，有些时候验证两个事 件是否相等，是非常有用的，在许多情况下可以说是唯一的一种方 法. 例如：事件 C1 发生，则 D1 一定发生，反过来也对，则 C1=D1.
高考理科数学一轮复习
(3)并(和)事件. 若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生，则此事件 为事件 A 与事件 B 的并事件(或称 A 与 B 的和事件), 记作 A∪B(或 A+B). ①与集合定义类似，并事件可用如图所示表
示.
②事件 A 与事件 B 的并事件等于事件 B 与事件 A 的并事件， 即 A∪B=B∪A. 例如： 若事件 C1∪C5 表示投掷骰子出现 1 点或 5 点这个事件. 即 C1∪C5={出现 1 点或 5 点}. 说明：并事件具有三层意思：事件 A 发生，事件 B 不发生； 事件 A 不发生，事件 B 发生；事件 A、B 同时发生，即事件 A、B 中至少有一个发生.
高考理科数学一轮复习
(4)交(积)事件. 若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生，则称此事件 为事件 A 与事件 B 的交事件(或称积事件),记作 A∩B(或 AB). ①用集合形式表示，如图所示.
②事件 A 与事件 B 的交事件等于事件 B 与事件 A 的交事件， 即 A∩B=B∩A. 例如：在投掷骰子的试验中，事件{出现的点数大于 3}∩{出现 的点数小于 5}={出现点数 4}.
高考理科数学一轮复习
4.互斥事件与对立事件 (1)互斥事件. 若 A∩B 为不可能事件，即 A∩B= ,那么称事件 A 与事件 B 互斥. ①A、 互斥是指事件 A 与事件 B 在一次试验中不会同时发生. B ②如果事件 A 与事件 B 是互斥事件，那么事件 A 与 B 事件同 时发生的概率为 0. ③与集合类比，可用如图所示表示.
高考理科数学一轮复习
(2)对立事件 若 A∩B 为不可能事件，A∪B 为必然事件，那么称事件 A 与事 件 B 互为对立事件，其含义是：事件 A 与事件 B 在任何一次试验中 有且仅有一个发生. (3)互斥事件、对立事件的判定方法 ①利用基本概念：(ⅰ)互斥事件不可能同时发生；(ⅱ)对立事件 首先是互斥事件，且必有一个要发生. ②利用集合的观点来判断. 事件 A 与 B 它们所含的结果组成的集合分别是 A、B (ⅰ)事件 A 与 B 互斥，即集合 A∩B= ; (ⅱ)若事件 A 与 B 对立，即集合 A∩B= ,且 A∪B=I,也即 A= IB,B= IA; (ⅲ)对互斥事件 A 与 B 的和 A+B,可理解为集合 A∪B.
高考理科数学一轮复习
(4)互斥事件的概率加法公式的应用 ①求一个事件的概率问题： 将一个事件分拆为若干个互斥事件， 分别求出各事件的概率，然后用加法公式求出结果. ②运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件间是 否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，做到无重无 漏. ③常用步骤：(ⅰ)确定诸事件彼此互斥；(ⅱ)诸事件中有一个发 生；(ⅲ)先求诸事件分别发生的概率，再求其和.
高考理科数学一轮复习
(5)利用对立事件概率公式解题 ①明确对立事件的概率，即 A、B 事件互斥，A、B 中必有一个 发生，其中一个易求、另一个不易求时用 P(A)+P(B)=1 即可迎刃 而解. ②常适用于直接计算符合条件的事件个数较繁时，可间接地先 计算对立事件的个数，求得对立事件的概率，再由公式求出符合条 件的事件的概率. ③应用此公式时， 一定要分清事件的对立事件到底是什么事件
, 不能重复或遗漏.该公式常用于“至多”、“至少”型问题的探求.
