华东师大版八年级数学下期16.3.1分式方程
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一艘轮船在静水中的最大航速为 20千米/时，它沿江以最大航速顺流航 行100千米所用时间，与以最大航速逆 流航行60千米所用时间相等，江水的流 速为多少？ 解：设江水的流速为x千米/时。 100 60 = 20 x 20 x
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60 = 20 x 此方程的分母中含未知数x,像这样 分母中含未知数的方程叫做分式方程。
100 20 x
以前学过的分母里不含有未知数 的方程叫做整式方程。分式方程的特征是什么？
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下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程.4 3 7 x y整式方程
x 2 x (1) 2 3
1 3 2) x 2 x
x( x 1) (4) 1 x 3 x x x 1 (3) (6) 2x 10 5 2 2x 1 1 3x 1 )x 2 x x
分式方程
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如何解分式方程？
60 = 20 x 我们已经熟悉一元一次方程等整式 方程的解法，若把分式方程转化为整式 方程就能解了。能否将分式方程化为整 式方程呢？分式方程的分母中含有未知 数，因此解分式方程最关键的问题在于 “去分母”。
100 20 x
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100 60 = 20 x 20 x 方程中各分母的最简公分母是： (20+x)(20-x) 方程两边同乘(20+x)(20-x),得 解： 100(20 x ) 60(20 x ) 解得 x 5 检验：将x=5代入原方程中，左边=4= 右边，因此x=5是原分式方程的解。
x=5是原分式方 程的解吗？
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归纳
解分式方程的基本思路是将 分式方程化为整式方程，具体做 法是“去分母”,即方程两边同 乘最简公分母。这也是解分式方 程的一般思路和做法。 这种数学思想方法把它叫做 “转化” 数学思想。
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探究1 10 x=5是原分式方 2 解分式方程： x 5 x 25 程的解吗？
方程两边同乘(x+5)(x-5),得 解： x 5 10 解得 x 5 检验：将x=5代入原方程中，分母x5和x2-25的值都为0,相应的分式无意义. 因此x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不 1 10 是原分式方程 x 5 x 2 25 的解，实际上， 这个分式方程无解。
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上面两个分式方程中，为什么100 20 x
=
程的解就是原分式方程的解，而
60 去分母后所得整式方 20 x
1 10 2 去分母后所得整式方 x 5 x 25
程的解却不是原分式方程的解呢？
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思考:我们来观察去分母的过程
100 20 x
=
60 两边同乘(20+x)(20-x) 100(20 x ) 60(20 x ) 20 x 当x=5时,(20+x)(20-x)≠0
分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的解与 分式方程的解相同.
1 10 2 x 5 x 25
两边同乘(x+5)(x-5)
x+5=10
当x=5时, (x+5)(x-5)=0
分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使 分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解
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【分式方程解的检验】100 20 x
=
60 20 x
当v=5时,(20+v)(20-v)≠0
两边同乘(20+v)(20-v)100( 20
x ) 60(20 x )
分式两边同乘了
等于0的式子,所得整式方程的解使 分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解 解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能 使原方程的分母为0,所以分式方程的解必须检验.怎样检验这个整式方程的解是不是原分式方程的解？
1 10 两边同乘(x+5)(x-5) x+5=10 2 x 5 x 25 当x=5时, (x+5)(x-5)=0
分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的解与 分式方程的解相同.
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检验方法将整式方程的解代入最简公分母, 如果最简公分母的值不为0,则整式方 程的解是原分式方程的解；否则,这个 解不是原分式方程的解。
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例1 解分式方程 2 3 x 3 x解 : 方程两边同乘以x(x-3),得
分式方程 转 化 整式方程 解整式方程
2x = 3(x - 3) 解得 x=9 检验:当x =9时 x(x-3)≠0 ∴x = 9是原分式方程的解 .
2 3 x(x-3) x(x-3) x 3 x
检
验
作 答
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例2 解分式方程 x 3 1 x 1 ( x 1)( x 2)解 : 方程两边同乘以(x -1)(x +2),得 x(x+2)-(x-1)(x+2)=3 化简,得 x+2 = 3 解得 x=1 检验:当x = 1 时，(x+2)(x-1)=0, x =1不是原方程的根. ∴ 原分式方程无解 .
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梳理解分式方程的一般步骤如下：分式方程目标
去分母
整式方程解整式方程
x=a检验
a是分式 方程的解
最简公分 母不为0
最简公 a不是分式 分母为0 方程的解
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解 下 列 方 程：5 1 1 2x x 3
x 2 3 2 2x 1 1 2x解：原方程变形为
解： 方程两边同乘以 2x(x-3)得: 5( x - 3 ) = 2x解得: x = 5
x 2 3 2x 1 2x 1两边同乘以2x-1,得
检验
1 左边= 2
右边=
1 2
x 2 3 2 x 1 1 解得: x 5检验 左边= 3 右边= 3
所以: x = 5是原方程的根
1 所以: x 是原方程的根 5
