对习题做了详细的分析与解答,希望对部分同学的学习有所帮助!
1.1空间结合体的结构 ◆柱、锥、台、球的结构特征
1、对于棱锥，下列叙述正确的是（ D ） A．四棱锥共有四条棱 C．六棱锥的顶点有六个
B．五棱锥共有五个面 D．任何棱锥都只有一个底面
分析：选项A：如图示：
在四棱锥P ABCD中，PA,PB,PC,PD为四棱锥
的侧棱，但四棱锥的棱有8条，分别是：PA,PB,PC,PD,AB,BC,CD,DA，所以选项A错误；
选项B：如图示：在五棱锥P-ABCDE中，有6个面，其中ABCDE称为
底面，PAB,PBC,PCD,PDE,PAE称为五棱锥的5个侧面，故选项B错误；
选项C：在六棱锥P-ABCDEF中，有7个顶点，分别为P,A,B,C,D,E,F.
任意n棱锥都有一个底面，故选项D正确. 解：选D.
2、下列说法中正确的是 （ C ）.
A.以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥 B.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台 C.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆
D.圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径
分析：以直角三角形的直角边为转轴得到的旋转体是圆锥，以斜边为转轴得到的旋转体是两个圆锥的结合体，故选项A错误；
直角梯形有两条腰，以直角梯形的一条腰为轴得到的可能是圆台，也可能是一个组合体，故选项B错误；
圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在的圆的半径等于这个圆锥的母线，故选项D错误；
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圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆。故选项C正确. 解：选C.
3、下列命题中正确的是（ C ）
A．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台. B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体. C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台. D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线.
分析：选项A：如图示
，只有当截面A B C D //ABCD时，得到的
底面与截面之间的部分组成的几何体才是棱台，故选项A错误；
选项B：当平行截面垂直于圆柱的旋转轴时，此时夹在两平行截面间的几何体还是一个旋转 体，旋转轴仍是原来的旋转轴；当平行截面平行于圆柱的旋转轴时，此时得到的几何体不再是一个旋转体，故选项B错误；
圆台侧面上的所有母线相交于一点，因此若通过圆台侧面上一点，得到的母线只有一条，故排除D；
选项C：如图示：C正确. 解：选C.
，大圆锥截去一个小圆锥后，得到的是一个圆台，故选项
4、在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ D ）. A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个
分析：如图示：侧棱PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为正方形，此时4
个侧面都是直角三角形。不妨设PA a，正方形ABCD的边长为b，利用勾股定理可以证
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明 PAB 90 , PAD 90 ， PBC 90 ， PDC 90 .故选D. 解：选D.
◆柱、锥、台、球的基本元素的计算
1、在直角三角形ABC中，已知AC 2，BC 2， C 90 ，以直线AC为轴，将△ABC旋转一周得到一个圆锥，求经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值.
分析：如图
，在 ABD中，S ABD
121
lsin BAD l2，当且仅当 22
sin BAD 1时，截面三角形的面积最大。问题的关键是： BAD能取到90°吗？
解：在直角三角形ABC中，∵AB BC 2，∴ CAB 45 ，则 B1AB 90 . ∴在 AB1B,S ABB1 此时S ABB1
121
lsin B1AB l2，当且仅当 B1AB 90 时，等号成立。 22
111
l2sin B1AB l2 4 4 8. 222
2、圆锥轴截面的顶角为120°，过顶点的截面三角形的最大面积为2，则圆锥的母线长为 （ D ）
A
． B
C．4 D．2
分析：如图：
在 ABC中，S ABC
121
lsin BAC l2,当且仅当 22
sin BAC 1，即 BAC 90 时，等号成立。
解：依题意得
12
l 2，∴l 2，故选D. 2
3、把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，母线长10cm.求：圆锥 的母线长．
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分析：如图:
，∵AO1//BO2，∴ PAO1∽ PBO2得
PAAO1
,
PBBO2
即
l 10r1
. lR4
解：设圆锥的母线长为l，圆台上、下底半径为r，R.
l 10r lRl 101
l440∴l cm.
3
答：圆锥的母线长为l
40cm. 3
◆立体图形如何由平面图形得到
1、右图的几何体是由下面哪个平面图形旋转得到的（ A ）
.
分析：选项B得到的图形是两个圆锥的组合体；选项C得到的图形的是圆柱和圆锥的组合体，上部是圆柱，下部是圆锥；选项D得到的是两个圆锥和一个圆柱的组合体，上部和下部都是三棱锥，中间是一个圆柱，选项A为所求的. 解：选A.
2、将图1所示的三角形绕直线l旋转一周，可以得到如图2所示的几何体的是哪一个三角形（ B ）
分析：方法一：选项A得到的图形是一个圆锥，圆锥的底面半径为CD，故排除A；选项B
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正确；选项C得到的图形也是一个圆锥，排除C；选项D得到的图形是由一个圆柱挖去一个三棱锥得到的，其中圆柱的底面半径为AB，圆锥的底面半径为AB，母线长为AC，故排除D.
方法二：图2可以看成是由上下两个圆锥组合而成的，且两个圆锥有相同的底面半径，在 图1的四个选项中，只能是B. 解：选B.
3、将下列平面图形绕直线AB旋转一周，所得的几何体分别是什么？请在图中画出来。
.
分析：图1看成是直角三角形△BCD、△ACD绕AB旋转一周，直角三角形绕其一直角边旋转得到的是圆锥，因此图1得到的是两个圆锥的组合体，圆锥的底面半径为CD； 图2看成是直角梯形绕一条腰（BE）旋转一周，得到的是一个圆台，再挖去一个以直角
△AEF的一条直角边(AE)为轴旋转一周的圆锥；
图3看成是矩形绕其一边(AG)旋转一周，得到的是一个圆柱，再添上一个以直角△BGF的一条直角边(BG)为轴旋转一周的圆锥.
解：如图示：
1.2空间几何体的三视图和直观图 ◆中心投影与平行投影
1、下列几种关于投影的说法不正确的是（ B ）
A．平行投影的投影线是互相平行的 B．中心投影的投影线是互相垂直的影 C．线段上的点在中心投影下仍然在线段上 D．平行的直线在中心投影中不平行
分析：中心投影的投影线相交于一点，平行投影的投影线互相平行.
.
解：中心投影的投影线相交于一点，而不是互相垂直，故选项B错误，其余选项正确。
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◆空间几何体的三视图 一、柱、锥、台、球的三视图
1、三视图的，看到的物体轮廓线的正投影组成的平面图形；一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在正视图的 下面 ，长度与正视图一样，侧视图放在正视图的 右面 ，高度与正视图一样，宽度与俯视图的宽度一样；
分析：三视图包括正视图、侧视图、俯视图。正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽；俯视图放在正视图的正下方。 解：略.
2、若一个几何体的三视图都是等腰三角形，则这个几何体可能是 （ C ） A．圆锥
B．正四棱锥
C．正三棱锥 D．正三棱台
分析：从选项出发，若该几何体是圆锥，它的正视图和侧视图是两个等腰三角形，但是它的俯视图是一个圆，不满足已知条件，故排除A.
若该几何体是正四棱锥，它的正视图和俯视图可能是两个等腰三角形，但是它的俯视图是一个正方形，故排除B.
若该几何体是一个正三棱台，它的正视图和侧视图都是两个等腰梯形，而不是等腰三角形，故排除D.
若该几何体是一个正三棱锥，底面是正三角形，且顶点在底面的投影是三角形的中心，从而可以得到正三棱锥的三条侧棱的长度相等；正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是正三角形，当然是等腰三角形了，故选D. 解：选D.
二、简单组合体的三视图
1、一物体的三视图的俯视图是两个同心圆，对下列命题：①该物体可能是球；②该物体可能是一个空心圆柱；③该物体可能是圆台；④该物体可能是圆柱和球的组合物．其中正确命题的序号是 ②③④ ．
分析：对于命题①，如果该物体是个球，那么它的三视图得到的都是一个圆，而不可能是两个同心圆，故命题错误；
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对于命题②，空心圆柱的三视图如图示：.俯视图是个同心圆；
对于命题③，圆台的三视图如图示：.俯视图是个同心圆；
对于命题④，只要球的半径小于圆柱底面的半径，那么组合物得到的俯视图就是两个同心圆； 故正确命题的序号是②③④ ． 解：②③④.
2、①有些简单的几何体，用正视图和俯视图就能确定其形状和大小；②三视图能真实反映各种几何体的形状和大小；③对于复杂的几何体，三视图不足以反映其大小和形状；④只要确定了实物的位置和观察方向，就能画出其三视图；上述说法中正确的是 ①③④ ； 分析：对于命题①，例如圆柱，通过三视图，可以得到圆柱的底面圆半径和圆柱的高，从而可以判定其图形形状和大小，故命题正确；
对于命题②，三视图得到的只是几何体的投影图，虽然可以反映一些简单几何体的形状和大小，但是无法真实反映各种几何体的形状和大小，命题错误；
对于命题③，因为三视图得到的只是一个几何体的从不同的三个角度的投影图，对于复杂的几何体，三视图不足于反映其大小和形状，命题正确；
对于命题④，确定了实物的位置和观察的方向，利用投影图，即可得到该几何体的三视图，命题正确，故填①③④. 解：①③④.
3、如图（1）,E，F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BED1F在该正方体的面上的投影可能是图（2）中的 ②③
.
分析：求四边形BED1F在正方体面上的投影，关键是找出四边形BED1F四个顶点在正方
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体各个面上的投影，然后依次连接四个投影点，即可得到四边形BED1F的投影图.
在底面ABCD上的投影如图示：，得到的是图（2）中的②
在侧面ADD1A1上的投影如图示：
，得到的是图（2）中的③
在正面ABB1A1上的投影如图示：
得到的是图（2）中的②
在正方体的其余三个面得到的投影对应上述三种情况，故填②③. 解：详见解析
4、如图，甲、乙、丙是三个立方体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是（ A ）
.
①长方体 ②圆锥 ③三棱锥 ④圆柱 A．④③② B． ②①③ C． ①②③ D． ③②④
分析：观察甲图，发现主视图和左视图是两个全等的矩形，俯视图是个圆形，结合给出的四个选项，只能是圆柱；
观察乙图，发现主视图、左视图、俯视图都是三角形，故该几何体只能是三棱锥； 观察丙图，发现主视图、左视图是两个全等的三角形，俯视图是个圆，故该几何体是圆锥； 解：选A.
◆空间几何体的直观图
一、关于空间几何体直观图的概念解析
1、关于斜二测画法画直观图说法不正确的是（ C ）
A．在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同
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B．平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴 C．平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变 D．斜二测坐标系取的角可能是135°
分析：对于选项C，显然选项C的说法是错误的，在直观图中，平行于与x轴的线段长度保持不变，但平行于y轴的线段长度减半，故选项C错误. 解：选C.
2、下列几种说法正确的个数是（ B ）
①相等的角在直观图中对应的角仍然相等 ②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等 ③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行 ④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 A．1 C．3
B．2 D．4
分析：对于命题①，显然命题①是错误的，在直角坐标系中，两坐标轴所成的角为直角，但是在平面直观图中，两坐标轴所成的角为45°（或135°），故命题错误；
对于命题②，显然命题也是错误的，平行与x轴的线段在直观图中长度保持不变，平行与y轴的线段在直观图中长度减半，故命题错误；
对于命题③，平行线段在直观图中对应的线段保持平行，命题正确； 对于命题④，线段的中点在直观图中仍然是对应线段的中点，命题正确. 解：选B.
二、直观图与原图间的面积计算
1、已知等边三角形ABC的边长为a，那么它的平面直观图 A B C 的面积为（ A ）。 A
．
2222
a B．
a C
．a D．
a 48816
分析：本题的关键是将实物图的等边三角形转化为平面直观图，利用斜二测画法画出它的平面直观图，平行于x轴的线段长度保持不变，平行于y轴的线段长度减半，在直观图中，两坐标轴所成的角为45°（或135°）.
解：将实物图的等边三角形转化为直观图，如下图所示：
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在实物图中，△ABC为等边三角形，边长为a
，求得AD 利用斜二测画法画出直观图，如右上图所示： 在直观图中， A'D'C' 45，A'D'
a.AD⊥BC， 2
AD ，B'C' BC a，
2∴A E A D sin45
，
∴S A'B'C'
112B'C' A'E a .故选D. 222、已知△ABC的平面直观图 A B C 是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为( C ) A．
3222a B
． C
．a D
2
422
分析：本题的关键是将平面直观图还原到实物图，平行于x轴的线段保持长度不变，平行于y轴的线段长度减半，在平面直观图中，x轴和y轴所成45°的角在实物图中互相垂直.
解：如图，过C′作y′轴的平行线C′D′，与x′轴交于点D′.
a
6 a. 则 C D
sin45 2
又C′D′是原△ABC的高CD的直观图， ∴CD=6a，
故S△ABC=
12
a. AB·CD=
22
3、一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( D )
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A.
122
B.1 C.1 2 D.2 2
222
分析：本题的关键是将直观图还原到实物图，根据平行于x轴的线段保持长度不变，平行与y轴的线段长度减半，在平面直观图中，x轴和y轴所成45°的角在实物图中互相垂直. 解：如下图(1)，等腰梯形A B C D 为水平放置的原
平面图形的直观图，作D E //A B 交B C 于E
，由条件得E C B
所以B C 1.由斜二测直观图画法规则，等腰梯形A B C D 的实物图为(2)所示直角梯形ABCD
，且AB 2，BC 1
AD 1，所以面积SABCD 2◆空间几何体的展开图
1、图是正方体的平面展开图，在这个正方体中：①BM与DE平
行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角④DM与BN垂直。以上四个命题中，正确的是（ D ）
A．①②③ B．②④ C．②③④ D．③④
分析：将展开图重新折叠起来，折成一个正方体，在正方体当中分析给出的选项，得到的正
方体如图所示.
解：对于命题①，显然BM与DE为异面直线；对于命题②，显然CN与BE互相平行，根据排除法可知，选D.
对于命题③∵CN//BE，故异面直线BM与CN所成的角为∠EBM，连接EM，
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则△EBM为等边三角形，故CN与BM所成的角为60°.故命题正确。
对于命题④，在正方形CDNM中，显然CN⊥DM，在正方体ABCD-EFMN中， 显然BC⊥MD,且CN∩BC=C，故MD⊥面BCN，∴MD⊥BN.命题正确。故选D. 一、为蚂蚁寻觅最短路径问题
1、如图，一只蚂蚁从棱长为1的正方体的一个顶点A沿着表面爬到与它
相距最远的另一个顶点G。蚂蚁爬行的最短路程是多少？
分析：把正方体沿FG、GC、BC剪开，使面BCGF与面ABFE
在同一个平面内，如图
所示，蚂蚁爬行的最短路程就是Rt ACG的斜边AG之长（两
点之间线段最短）。利用勾股定理易得AG 5.
解：蚂蚁爬行的最短路程AG .
2、如图，一只蚂蚁从长、宽、高分别为5，4，3的长方体的一个顶点
A沿着表面爬行到与之最远的另一个顶点G，最短路程是多少？
分析：如下图示：从长方体的不同展开方式讨论蚂蚁的最短路径，并进行比较，得到最短的
路程。
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解：⑴剪开FG、GC、CB铺平，线路如图示：此时AG
(5 4)2 32 . (4 5)2 32 . (3 5)2 42 80. (5 3)2 42 80. (3 4)2 52 74. (4 3)2 52 .
⑵剪开HG、GC、CD铺平，线路如图示：此时AG
⑶剪开EF、FG、GH铺平，线路如图示：此时AG
⑷剪开FB、FG、CG铺平，线路如图示：此时AG
⑸剪开FG、GH、HE铺平，线路如图示：此时AG
⑹剪开DH、HG、GC铺平，线路如图示：此时AG
因此最短路程为.
总结：由此我们知道，若长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且a b c时，最短路程
22
就是(b c) a。
3、如图
，一只蚂蚁绕圆柱一周从母线AB的端点A爬到B点。若圆柱的高为3 ，
底面半径为2，求蚂蚁爬行的最短路程。
分析：将圆柱侧面沿母线AB剪开得到展开图行是最短路线。
，则蚂蚁沿图中的路线AB 爬
解：在Rt AA'B'中，AA' 2 2 4 ，A'B' 3 ，由勾股定理得AB' 5 .
4、如图，一个圆锥底面半径为10，母线长为30，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥
侧面爬行一周回到A点，所走过的最短路程是多少？
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分析：把圆锥的侧面沿母线AB剪开再展平得图就是图中线段AA'的长度。
，则所求最短路线
解：因为AA' 2 r 20 ，AB 30，
AA'20
360 360 120 . 所以 ABA'
2 AB2 30
在Rt△ABC中，已知 ABC
1
ABA' 60 ，AB 30， 2
由三角函数知识或勾股定理均可得到AA' 2AC .
5、如图，已知圆锥底面半径为5，母线长为20。一只蚂蚁从A点出发沿圆锥侧
面绕行一周到母线AB中点C处，它爬行的最短路程是多少？
分析：将圆锥的侧面沿母线AB剪开再展平得图AC的长。
解：在△ABC中， ABC 已知AB 20，BC＝二、平面图形的折叠
，则所求长度为图中
2 5
360 90 .
2 20
1
AB＝10，根据勾股定理得AC＝10. 2
1、在正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，现在沿DE、DF及EF把△ADE、△
CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.问：
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⑴这个几何体有几个面构成，每个面的三角形为什么三角形；
⑵若正方形边长为a，则每个面的三角形面积为多少；
分析：⑴四边形ABCD为正方形，且E、F为中点，则DE DF，故△DEF为等腰三角形； 在折叠的过程中， DAE DCF EBF 90 保持不变，故 DFP、 EFP、 DEP为直角三角形.
⑵在翻折的过程中，三角形 DFP、 EFP、 DEP的长度保持不变，且直角保持不变，三棱锥的表面积等于长方形的面积.
解：①如图示：
这个几何体由四个面构成，即面DEF、面DFP、面DEP、面EFP.由平面几何知识可知 DE=DF， DPE EPF DPF 90 ，所以△DEF为等腰三角形，△DFP、△EFP、 △DEP为直角三角形.
⑵由⑴可知，DE DF
,EF , S PDE
1a21a21a2
DP PE ，S PDF DP PF ，S PEF EP PF . 242428
a2a2a23a2
a .
4488
2
S DEF S正方形ABCD S DAE S BEF S DCF
1.3空间几何体的表面积和体积 ◆求四棱柱的表面积和体积
1、将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了（ B ）
A．6a
2
B．12a
2
C．18a D．24a
2
分析：如何将边长为a的正方体切成27个全等的小正方体？将正方体的棱长三等分即可，
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则每个小正方体的棱长为
a
，边长为a的正方体的表面积为S1 6a2，每个小正方体的表3
a22a22a2
18a2.故表面积增加了 面积为6 ，则27个小正方体的表面积为S2 27 393
S2 S1 12a2.
解：选B.
2、一个长方体长宽高的长为1∶2∶3，表面积为198，这个长方体体积为（ B ）
A、1622 B、162 C、812 D、81
分析：设长方体长宽高的长分别为a、2a、3a，则该长方体的体积为V a 2a 3a 6a， 表面积为S 2(a 2a a 3a 2a 3a) 22a2.
3
解：如图示：，设长方体的长为a，则宽为2a，高为3a，
则表面积S 2[2a2 3a2 6a2] 22a2 198，解得a 3
V a 2a 3a 6a3 6 (3)3 162，故选B.
◆求三棱锥、圆锥的表面积和体积 一、三棱锥的表面积和体积
1、两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部 分的体积的比是（ B ）
A．1∶2∶3 B．1∶7∶19 C．3∶4∶5 D．1∶9∶27
分析：圆锥被分割成一个圆锥和两个圆台，圆台AB-CD的体积=圆锥P-CD的体积减去圆锥P-AB的体积；圆台CD-EF的体积等于圆锥P-EF的体积减去圆锥P-CD的体积； 根据
PAAB1PCCD21
， 和圆锥的体积计算公式V S底 h分别求出它们的 PCCD2PEEF33
体积V1,V2,V3.
解：如图示：已知PA=AC=CE，过A作AB//EF，过C作CD//EF
